I. — Décomposition des fonctions rationnelles de 2: et

en éléments simples.

1. Les fonctions uniformes F sur la surface de Riemann, dont nous allons nous occuper dans ce Chapitre, n^onl d'autres points singuliers que des pôles; ce sont, par conséquent, des fonctions rationnelles de x et y^ en désignant toujours par

Téquation de la courbe algébrique de degré m qui définit la surface de Riemann.

Nous commencerons par définir le degré d'une fonction F, en montrant que Féquation

C étant une constante arbitraire, a toujours le même nombre [x de racines, quelle que soit la constante C; ce nombre [jl sera le degré de la fonction. Il suffit, pour l'établir, de faire voir que le nombre des racines de cette équation est égal au nombre des pôles de F. Considérons à cet effet l'intégrale

(*) Après les Mémoires déjà cités de Riemann, un travail capital sur ce sujet est celui de MM. Brill et Nother {Mathematische Annaien, t. VII) ; les questions y sont traitées à un point de vue purement algébrique.

^28 CHAPITRE XT.

prise le long du contour K qui rend la surface de Riemann simplement connexe. D'après un théorème fondamental de Cauchy étendu aux surfaces de Riemann, cette intégrale sera égale à la différence entre le nombre dos racines de l'équation (i) et le nombre des pôles de F; or l'expression (2) est nulle, puisque, F étant uniforme sur la surface, les éléments se détruisent deux à deux. Le nombre des racines de (i) est donc indépendant de C : c'est ce que nous appellerons le degré de la fonction F. Il est clair que le théort*nie précédent peut êlre considéré conniiie la général isii lion du théorème fondamental de la théorie des équations. Dans le cas du plan simple de Cauchy et d'un polynôme en X de degré m. on a une fonction ayant ni pôles (un pôle multiple d'ordre /?i à l'infini); elle a donc ni racines.

2. Les intégrales normales de seconde espèce vont nous servir d'éléments simples pour décomposer une fonction F. Supposons que cette fonction ait a pôles que nous supposerons simples (*). il? ia? •••7 i(jL> 6t soient ai, aj, ..., a^ les résidus correspondants. Formons les intégrales normales de seconde espèce

correspondant à ces tx pôles. La différence

F — ( ai El -+- sj E2 -+-... -i- «(jlEji.)

n'a manifestement plus de pôle; elle doit donc se réduire à une intégrale de première espèce. Or les périodes de cette intégrale de première espèce correspondant aux coupures D sont nulles, puisque F n'a pas de périodes, et que les périodes relatives aux coupures D des intégrales normales de seconde espèce sont nulles. Mais nous savons qu'une intégrale de première espèce, pour laquelle les périodes relatives aux D sont nulles, se réduit nécessairement à une constante (§ 13, Chap. XIV). Nous avons donc V identité fondamentale

(3 ) F = a, E, -H aj E2 -h . . . -f- a|xE(i-h «jt+i,

les a étant des constantes.

(') Dans la suite, sauf dans la note de la page 43oy nous supposerons toujours que les pôles dont il sera parlé sont des pôles simples.

On voit qu'on obtient ainsi une décomposition de la fraction rationnelle dans laquelle les intégrales normales de seconde espèce jouent le rôle d'éléments simples. La formule précédente peut être considérée comme la généralisation de la décomposition des fractions rationnelles en fractions simples.

3. La fonction F étant uniforme sur la surface de Riemann, les périodes relatives aux coupures C doivent être nulles. Nous avons donc les p relations

(4) aiQA($i»T,i)-^aîQ/*($2jT^iî)-î-----^atJi-QA(lliî^HJi) = o (/i = 1,2, ...,/?).

Nous devons d'abord remarquer que l'expression (3) sera certainement une fonction rationnelle de x et y^ si les constantes a vérifient les relations (4)» car celles-ci expriment que les périodes de

«1 El -T- «2 î^î -^"• • •"♦" *(ji E||, 4- at||,-H|,

relatives aux coupures C, sont nulles; comme, d'autre part, les périodes relatives aux coupures D sont aussi nulles, l'expression précédente n'a pas de périodes, et est, par suite, une fonction uniforme.

Nous allons faire, tout à Tlieure, une étude approfondie de ces relations. Pour le moment, déduisons-en la remarque capitale, qu'fV ne peut exister de fonction rationnelle de x et y ayant ^ pôles simples arbituairemkwt donnés, si

Il suffira de le montrer pour ^ zzzzp. Les p relations précédentes entraîneraient

Qi(îi,r,,) Q, ($2,7),)

Qî(çn^l) Q2(?î,^2)

Qp($i,T,,) qpiU.rn)

Q2(;tJl,TQ{JL)

et nous avons déjà dit que ce déterminant ne pouvait être nul si les p points (ç>i, rj>i) sont arbitraires. Dans ses Leçons sur la théorie des fonctions abéliennes, qui n'ont malheureusement jamais été publiées, M, Weierslrass prend le théorème précédent comme dé-

43o CHAPITIE XT.

fioitioa du genre. Se plaçant à un poinl de vue purement algéhrique, il commence par établir qu*il y a un certain minimum audessous duquel ne peut descendre le nombre des pôles simples, supposés arbitrairement choisis, d'une fonction rationnelle de x et y. Ce nombre minimum, diminué d*une unité, est ce que M. Weierstrass désigne par la lettre p el appelle le rang- de la courbe : ce nombre p n'est autre que le nombre p de Riemano, d'après la remarque que nous venons de faire (*).

Si Ton a /> + I points arbitraires, on pourra obtenir une fooctiori F n'a vaut d^anlres pôles que ces points. Les x seront alors déterminés (ou du moins leurs rapports) par les équations écrites plus haut.

11 est facile de former effectivement une fonction ayant p -f- 1 pôles arbitraires. On peut, en effet, faire passer par /? -\- i points arbitrairement donnés une adjointe d'ordre m — 2, soit P(x, y)]

(' ; A la vérité, M. Weierstrass donne une définition un peu différente dans la forme, rar il suppose que les points sont confondus et considère alors les fonctions rationnelles de x ei ^ ayant en un point arbitraire un pôle multiple d'ordre {x et n'ayant pas d'autres pôles : le nombre p. a un minimum qui est p + 1. Il est clair que ce cas n'est qu'un cas limite de celui que nous avons étudié dans le texte; il suffit de supposer que les p. points coïncident. Au point de vue où nous sommes placé, la démonstration pourrait être faite en détail, en remarquant que l'intégrale normale E correspondant au point \ est une fonction de ^; la formula; (3), s'il s'agit d'un pôle d'ordre (i, se remplace immédiatement par la suivante

dE Les périodes de --zi,-t • • seront les dérivées successives des périodes de E par

rapport à ^, et Ton verra tout de suite que si une fonction F a comme pôle unique un pôle multiple d'ordre p en ^, on doit avoir

Q. DQ. D'Q, ... DMQ, Q. DQ, D'Q. ... Dr-Q,

Q, DQ, I>"Qp ••• DP-Q,

les D désignant les dérivées successives de Q(^, t^) considérée comme fonction de ^ [on a, bien entendu, /( ^, ti) = 0]. Or la relation précédente, où par hypothèse ^ est arbitraire, entraîne nécessairement une relation homogène et linéaire entre Q,i Q,, .••; Q.> ce qui est impossible, puisque ces polynômes adjoints sont linéairement indépendants. Il ne peut donc y avoir de fonction F ayant un pôle unique arbitraire d'ordre inférieur à /> -h i.

DES FONCTIONS UNIFORMES SUR UNE SURFACE DE RIEMANN. l\^1

elle rencontrera la courbe, en dehors de ces points et des points

multiples, en

autres points. Par ces derniers, on peut au moins faire passer deux adjointes distinctes d'ordre/// — 2, comme le montre de suite le dénombrement des conditions. Prenons Tadjointe P(j:,y) pour l'une d'elles, et désignons par )}^{x^y) la seconde, le quotient

il pour pôles les/? 4- I points primitivement donnés.