II. — Théorème de Riemann-Roch. Des fonctions spéciales

-i. Nous allons maintenant approfondir Tétude des relations (4) pour résoudre le problème suivant, qui est fondamental dans la théorie des fonctions algébriques :

Etant donnés u. points sur une surface de Rieniann, de combien de constantes arbitraires dépendent les fonctions rationnelles qui nont d'autres pôles (supposés tous simples) que ces [JL points ou quelques-uns d'entre eux?

La recherche de ce nombre reviendra à la discussion des équations (4), que j'écris de nouveau

Si les premiers membres de ces p relations, regardés comme fonctions linéaires et homogènes de ai, a2, . . ., cl^, sont linéairement indépendants, on pourra tirer de ces équations p des lettres a en fonction des [jl — p autres, et, par suite, l'expression générale (3) de F renfermera

constantes arbitraires. Ce résultat est dû à Riemann ; il convient en quelque sorte au cas général. Il est facile de le compléter, de manière à avoir un énoncé applicable à tous les cas, comme l'a indiqué Roch (*).

(') Rocu, Journal de Creile, l. 64.

\Zl CHAPITRE XT.

Supposons que, parmi les polynômes (4) du premier degré en a|, a2, . . . • X|i, il V en ait seulement p — a* linéairement indépendants. On pourra exprimer alors a* d'entre eux en fonction des p — 7 autres : soit les o- derniers en fonction des/> — cr premiers. On aura ainsi les identités

les constantes X, jx, . . . , v ne changeant pas avec A'.

Or ces relations montrent que les a* courbes adjointes d'ordre m — 3,

Ri (-r, 7 ) = Qp a-Hi(ar, ^') — ^i Qi( J^,r > - • • •— X/»-<r Q/»-(r( J^, >*), •• ••••••• -•• • ■......•f

R(r( -r* j ) = Q/^J^» r) — ''1 Qi ( -r, r )—••• — ''/» -T Q/ -7(^, r)»

passent par les «x points considérés de la surface de Riemann. Ces 7 polynômes adjoints sont d'ailleurs bien évidemment, par leur forme même, linéairement indépendants. On voit donc qu'il y aura n polynômes adjoints d'ordre m — 3 linéairement indépendants s'annulant pour les u. points. Il n'y en aura pas davantage, car, dans celte hypothèse, on aurait un polynôme

Bi Ri — . . . -r- B<r R<r — Aj Qj — . , . -f- Ap<y Q^-^,

où les constantes A ne seraient pas toutes nulles, qui s'annulerait pour (5,, r,, ), . . . , (5jjL, Tjjx). Il s'ensuivrait

On conclut de là qu'un des polynômes Q, , Q2, . . . , Q;,<t pour (^A, *^ia), soit par exemple le dernier, s'exprimerait, quel que soit A', par une même combinaison linéaire des autres. Les expressions

pour A = 1, 2, . . . , [JL, s'exprimeraient par des combinaisons linéaires de

Qi(Ça:, ïIa), •.., Qii-<7-l(ÏA»ï;*),

et, par suile, il y aurait moins de /? — t polynômes (4) linéairement indépendants.

Nous arrivons donc à la conclusion suivante : Si, parles [jl points donnés, on peut faire passer un faisceau de courbes adjointes d'ordre m — 3 renfermant (d'une manière homogène) o- constantes arbitraires, les équations (4) se réduiront k p — a* d'entre elles, et, par suite, parmi les constantes

p — T pourront s'exprimer à l'aide des [autres. Le nombre des constantes arbitraires figurant dans F sera donc

[X — (/> — î)-}-l ou p. — /> -h IH- J,

en tenant compte de la constante ol^j^^ • cest le théorème gênéralement désigné sous le nom de théorème de Riemann-Roch. On remarquera que, parmi les constantes a, il peut y en avoir de nécessairement nulles, comme conséquence des équations (4). La fonction dont nous venons de trouver l'expression générale et de dénombrer les constantes arbitraires aura alors moins de [X pôles; aussi avons-nous eu soin d'indiquer dans l'énoncé du problème de Riemann-Roch que la fonction cherchée avait pour pôles les [JL points donnés ou quelques-uns d'entre eux.

5. Lorsque le nombre a* n'est pas nul, le nombre [jl des points est évidemment au plus égal à

puisqu'une adjointe Q d'ordre m — 3 rencontre la courbe / seulement en 2/? — 1 points en dehors des points multiples. Le degré de la fonction est alors au plus égal à ip — 2. Quand <t est différent de zéro, nous dirons que la fonction F est une fonction spéciale.

Nous allons établir que toute fonction spéciale peut se mettre

sous la forme -^-, Q et Qi étant deux polynômes adjoints d'ordre

Soit, en effet, C){x,y) un polynôme adjoint d'ordre m — 3 s'annulant pour les pôles de la fonction F. Envisageons l'inté-

P. - II. aH

434 CHAPITRE XT,

grale

le produit QF reste fini pour les pôles de F; d'autre part, pour le point à rinfini sur cliacuo des feuillets, il est infini de Tordre de x"*~^. On voit donc que l'intégrale précédente restera finie sur toute la surface de Riemann. On a par suite

Qi étant encore un polynôme adjoint d'ordre m — 3. Cette démonstration si simple est due à M. Klein ('). Il est bien clair que, inversement, tout quotient de deux polyjiômes adjoints d'ordre m — 3 est une fonction spéciale, puisque, pour ce quotient, ^ est au moins égal à l'unité.

6. MM. Brill et Nother ont complété le lliéorème de Riemann- Rocli en indiquant une loi de réciprocité, relative au cas où 7 n'est pas nul, que nous allons maintenant faire connaître ('). Considérons une fonction spéciale avec les pôles

par ces [jl points passent 7 courbes Q linéairement indépendantes,

soient

Qij Qî» •••? Q<j'

Une de ces courbes, la première par exemple, rencontrera, en dehors des points multiples, /en (jl' autres points

Formons le quotien

r , Oi -4- r« Q, -'-... -- r^Qfj^

(') Voir les Leçons de M. Klein sur la théorie des /onctions elliptiques modulaires, t. I. Le troisième Chapitre est consacré à un exposé général de la théorie des fonctions algébriques; Télude de cette large esquisse ne saurait être trop recommandée.

(') BuiLL et NoTiiER, Math, Annalen, t. VII.

OÙ les c sont des constantes arbitraires. Cette fonction (p ne peut devenir infinie qu^aux points 2^. Or la fonction uniforme la plus générale ne pouvant devenir infinie qu'aux points 2^ contient, d'après le théorème de Riemann-Roch,

constantes arbitraires, en désignant par (t' le nombre des courbes adjointes d'ordre m — 3 linéairement indépendantes passant par les points 2^. On a donc, puisque (p contient <t arbitraires,

Mais, en partant des points 2^, on pourrait raisonner comme nous l'avons fait en partant des points Ç, en considérant la fonction

^ Qi

et en désignant par Qi, Qjj, ..., Q^. les (t' polynômes adjoints d'ordre m — 3 s'annulant aux points ÎJ. On aurait alors

(6) ^' '^ l^ — p-hl-'rd.

Des deux inégalités précédentes, on conclut

11 faut donc que les deux inégalités (5) et (6) soient des égalités, et, par suite,

<j'— fx — /)-+- <j -h r, ce qui revient à l'unique relation

C^est la loi de réciprocité de Brill et Nôther.

Des relations ainsi obtenues, on peut déduire le théorème démontré dans le paragraphe précédent. La relation

montre que la fonction o' est la fonction la plus générale ayant

4S6 CBAFITSl XV.

poor pAles les points i oo one partie d^entre eux : toute fonction spéciale est donc bien un quotient de deux polynômes adjoints d'ordre m — 3.

7. Le degré d'une fonction spéciale est au plus égal à 2/7 — 2. Il n'est pas inutile de montrer qu il peut effectwement atteindre cette limite. Ceci re\ient à dire qu'il n'j a pas, en dehors des points multiples, de points par lesquels passent toutes les adjointes d'ordre m — 3 : ce que nous avons vu précédemment (Chap. XIV, §11).