I. — Position de la question; théorèmes préliminaires

1. Nous avons jusqu'ici considéré une surface de Riemann définie en partant d'une certaine relation algébrique

Nous avons alors étudié sur la surface certaines fonctions, intégrales des diverses espèces ou fonctions uniformes.

Nous allons nous proposer maintenant des problèmes en quelque sorte inverses. On peut concevoir une surface de Riemann définie a priori et d'une manière purement géométrique : ce seront m feuillets réunis les uns aux autres par un certain nombre de lignes de croisement et formant une surface connexe. Il s'agit d'établir qu'à une telle surface correspond une classe de courbes algébriques et de démontrer a priori l'existence de ces fonctions dont nous parlions plus haut. Nous rentrerons ainsi dans la pensée profonde de Riemann, dont nous nous sommes écarté dans les Chapitres précédents en faisant l'étude des intégrales de différentielles algébriques relatives à une courbe. Les deux études doivent, d'ailleurs, évidemment être faites l'une et l'autre; jusqu'ici nous sommes parti de la courbe ou de la relation algébrique, nous prenons maintenant pour point de départ le concept de la surface riemannienne à m feuillets.

Malheureusement la méthode si simple de Riemann pour établir les théorèmes généraux d'existence ne présente pas la rigueur

'l6o CHAPITRE XVI.

qu'oQ exige aujourd'hui dans la théorie des fonctions. Elle repose sur la considération du minimum de certaines intégrales tout à fait analogues à celles que nous avons déjà étudiées dans le problème de Dirichlet (p. 3G) et on lui a adressé les mêmes objections. Il a donc fallu chercher dans une autre voie : M. Neumann et M. Schwarz y sont parvenus chacun de son côté. La méthode (le M. Neumann est exposée dans son grand Ouvrage sur la théorie des fonctions abéliennes (*); j'y renverrai le lecteur. M. Schwarz, à la suite de ses recherches sur le procédé alterné el le problrme de Dirichlet, ajoute que Ton ])eut par ce procédé arriver aux théorèmes généraux d'existence. Dans une lettre à M. Klein, que nous aurons à citer dans un moment, il revient rapidement sur la question. On peut avec ces données restituer complètement la méthode de M. Schwarz, et je ne crois pas dans les pages qui suivent m'écarler de la pensée deTillustre géomètre.

2. Nous allons avoir à compléter Tétude des conditions d'existence d^une fonction harmonique. Quelques théorèmes préliminaires nous .seront indispensables. Nous avons déjj'i exposé (p. --') le procédé alterné; il va jouer dans la suite un rôle capital. Nous Tavons, en particulier, appliqué dans le cas d'une aire limitée par deux contours C et C (p. 8si) et nous généraliserons d'abord la recherche faite à cet endroit.

Reprenons donc, avec M. Schwarz (2), l'aire limitée par les deux contours C et G, Traçons la ligne mn joignant un point de C à un point de C, et donnons-nous sur chacune des deux courbes une succession de valeurs que nous supposerons, en général, continue (il pourrait y avoir des points en nombre fini pour lesquels il y aurait un saut brusque d'une valeur à une autre).

Nous traçons une courbe nin joignant un point de C à un point de C (,/?^. 5 5 ); désignons par mn'^ le bord droit de cette coupure (ît par mn~ son bord gauche. Nous allons chercher à déterminer une fonction harmonique a, continue dans l'aire limitée par C, C

(») Nkumann, Vorlesungen iiber liiemann's Théorie der Abelschen Intégrale {2" Aufl.; 1884 ).

(') ScnwAnz, Aiiszug aus einem Driefe an Herrn F. Klein {Œuvres cornplates, l. II, p. 3o3 ).

et niriy prenant des valeurs données sur G et C, et pouvant se prolonger analjliquement des deux côtés de mn^ de telle sorte que le prolongement analjti({ue de u~ soit égal à

h étant une constante donnée, en représentant par u" et //"*" les valeurs de la fonction dans le voisinage de la coupure à gauche et à droite.

Nous appellerons A Taire limitée par C, C, mr&y mn"] traçant alors une seconde coupure /?(/, appelons B Taire limitée par C, C,

Fig. 55.

pq"^, pq~' Nous allons d'abord former une première fonction harmonique £/<, déGnie dans Taire A, prenant les valeurs données sur C et C, puis des valeurs arbitrairement choisies sur mnr et les mêmes valeurs augmentées de h sur m/i"**. La fonction u^ prendra certaines valeurs sur pq. Nous formons alors une fonction harmonique i'ï déterminée dans Taire B, prenant sur pq"^ les valeurs de u^ et sur pq~ les mêmes valeurs diminuées de A; de plus, r^ prend sur les arcs a et P de G et C' les valeurs de Ut diminuées de A, et sur le reste des courbes G et G' les mêmes valeurs que Ut : la fonction ^^ est ainsi complètement déterminée. On va continuer ainsi indéfiniment : la fonction U2 sera la fonction harmonique déterminée dans A prenant sur mn" les valeurs de i', et sur mn'^ les mêmes valeurs augmentées de h, et égale à Ut sur G et G'. On formera ^2 en partant de W2, comme on a formé ^'i en partant de Uiy et ainsi de suite. Les fonctions Un et ^/i ont respectivement deux limites u et r, comme nous Tétablirons sans peine. Or on a

u„=Vn {sur pq^),

Uft — ^'n-i (sur m/j-).

D'ailleurs tous les ii et v ont même valeur sur les arcs C — a et G' — (3. Il en résulte que

sur le contour formé par ces deux arcs et m/i~, pq"^', il en est donc de même à Tinlérieur de ce contour. Pareillement, on a

Vn— Un— h (sur pq-), r,i i=M,j — h (sur /n/i-'-).

On a donc, dans Taire limitée par a, [i, mit^^ pq",

Or la fonction ç> n'a pas mn pour coupure ; nous allons donc pouvoir, avec les résultats précédents, étudier immédiatement le prolongement analytique de // quand on traverse de gauche à droite la coupure mn. Puisque, à droite de celle-ci, on a

tandis qu'à gauche

le prolongement analytique de u~ sera donc égal à W*" — /*, comme nous l'avons dit dans l'énoncé. Il est clair que semblablement le prolongement analytique de W^ est égal à ir -f- h, La fonction u prend sur C et C les valeurs données ; il est clair que, si l'on traverse la coupure mn, les valeurs de it sur ces deux courbes augmenteront ou diminueront de h, suivant le sens dans lequel la coupure aura été traversée (*).

3. Nous avons admis l'existence de limites pour //„ et i^„, La démonstration est la même qu'au § 2 du Chapitre III, et il suffira de faire ressortir brièvement l'analogie entre les deux cas. Nous pouvons dresser le Tableau

pq^

mn -

Ui

Ut

Un

(0 Si la succession donnée des valeurs sur C et G' admet la période h^ on pourra regarder la fonction comme parfaitement déterminée en m et n sur le bord droit et sur le bord gauche de la coupure. Dans le cas contraire, la fonction n'aura pas, à proprement parler, de valeurs en ces points.

qui rappelle que m„ et Vn prennent les mêmes valeurs sur pq^j tandis que ii„ et r„, prennent les mêmes valeurs sur mn~. Tous les u prennent les mêmes valeurs sur les arcs C et C, et il en est de même pour les p, ces valeurs n'étant d'ailleurs les mêmes pour les u et les v que sur les arcs C — a et C — ^. Remarquons maintenant que

U3 — Ui=Vi — vi (sur mw-).

Or v'2 — i'i est nulle sur C et C, et l'on a

Çi — Vi= Ui — Ml (sur pq-^).

On en conclut de suite, en raisonnant comme à la page 80,

|"3— wtl :7V (sur mn-),

en d(^signant par g le maximum de | M2 — ''1 [ sur mn^\ pour la définition du nombre y <; i , on se reportera au Chapitre III et particulièrement à la page 83. On a^ d'une manière générale,

I Un— Un-i I < <jr2^«-*'^ (sur mn-),

et la convergence des Un vers une limite s'en déduit immédiatement; on raisonne de même pour les Vn-

4. Les considérations précédentes s'étendent d'elles-mêmes. Si, au lieu d'une aire limitée par deux contours, nous avons une aire limitée par une courbe extérieure C et par p courbes intérieures

C|, C2, ..-, C^, nous tracerons/; coupures m|/i|,/W2^2> •••, '^P^/ïi joignant C à C|, Ca, ..., Cp. On pourra former une fonction

harmonique continue dans l'aire limitée par les C, les //m"*" et les /?i/i~, prenant des valeurs données sur les C et pouvant se prolonger analytiquement au delà de m/W/ (1 = 1, 2, •..,/?), de telle sorte que le prolongement analytique de u~ soit égal à

/ii étant une constante donnée.

Il n'est pas besoin d'insister sur ce cas général; la question étant traitée pour le cas de deux contours, on traitera le cas de trois contours en s'appuyant sur le cas précédent, c'est-à-dire en

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suivante, quoique peu approchée, nous suffira : c'est celle que nous avons donnée (p. 17). On a

en désignant par g la valeur absolue maxima de la fonction sur la circonférence de rayon 11.