II. — Des courbes de genre un
4. Les courbes de genre un sont particulièrement intéressanles à cause de leurs rapports avec la théorie des fonctions doublement périodiques. Pour/?= i, on aura
OLi =
On a ici un seul polynôme adjoint d'ordre m — 3 et, par suile, une seule intégrale de première espèce (à un facteur constant près).
Nous commencerons par chercher si les adjointes d'ordre m — 2 ne peuvent pas, comme pour les courbes unicursales, conduire à une représentation paramétrique intéressante. Les courbes adjointes d'ordre m — 2 dépendent ici, d'une manière non linéaire, de m — ] paramètres entrant d'une manière non homogène. On peut donc former un faisceau d'adjointes d'ordre m — 9.
(a) P,H-XP, = o
passant par m — 2 points arbitrairement choisis sur la courbe/. Le nombre des points de rencontre variables avec X sera
ou
Nous n'aurons donc, pour déterminer x eij- en fonction de \ qu'à résoudre une équalion du second degré. On aura, par suite,
y cl ç élant des fonctions rationnelles de A et de y^(X), en désignant par R(X) im polynôme en X qu'on peut supposer n'avoir que des racines simples (le facteur de puissance paire, pour le> racines muhiples, étant sorti du radical).
(») Clebsch, L'eber diejeni^en ebenen Curvrn deren Coordinaten rationale Functionen eines Purameters sind {Journal de Crelicy t. 64).
COURBES DES GENRES ZÉRO ET 1:N. 5o3
A une valeur de a correspondent deux points (j^,^) à cause des deux déterminations du radical. A un point arbitraire {x^ y) de la courbe J correspondra une seule valeur de X, ce qui est évident d'après {'à)\ il correspondra aussi une seule valeur de y/R(X), l'autre délerminalion du radical donnant le second point de rencontre do l'adjointe (2) avec y.
Lne (|uestion 1res intéressante se ])résente : Quel est le degré du polynôme R(â)? On peut, pour y répondre, suivre deux voies difTérentcs, entièrement analogues à celles que nous avons suivies en étudiant les courbes du ^^enre deux (p. 455 )•
Je dis que le degré de li(A) ne pourra être que trois ou quatre. En eiïel, d'après ce que nous venons de dire, les deux courbes
se correspondent point par point, puisqu'à un point arbitraire (A, [jl) de la seconde courbe ne correspond qu'un point (x^y) <Iey, et inversement. Les deux courbes sont donc du même genre, c'est-à-dire du genre un, et, par suite, le degré du polynôme Il (a) sera nécessairement égal à trois ou à quatre, les deux cas se ramenant d'ailleurs, comme nous l'avons vu autrefois, l'un A l'autre.
La seconde démonstration est plus directe, mais plus longue. On procédera comme nous l'avons fait dans l'étude des courbes de genre deux (p. 456). Le nombre clierclié sera égal au nombre (les courbes du faisceau
langentes à la courbe y*. Après avoir supprimé les mêmes solutions rlrangères, il restera quatre courbes de ce faisceau tangentes à y, et le degré du polynôme R(a) est, par suite, égal à quatre. On a donc le théorème suivant :
Les coordonnées d\in point quelconque d'une courbe de genre un sont des fonctions rationnelles d'un paramètre et de la racine carrée d'un polynôme du quatrième degré par rapport à ce paramètre (').
(•) Ce ihcorcine est dû à CIcsbcli. Voir son Mémoire : Veber diejenigen Curven dcren Coordinaten sich aïs elliptische Functionen eines Parameter darstellen lasscn {Journal de C relie, t. 64).
5. On peut donner une autre forme h l'imporlant ihéorèmequl précède. Si Ton pose
nous avons vu (p. 334) q"c cette relation définit une fonction doublement périodique de z, soit
et Ton a évidemment
Il en résulte que a: ely sont des fondions doublement périodiques du paramétre z; de plus, à un point arbitraire (*r, jk) et, par suite, à une valeur de A et de y/R()v), ne correspondra qu'une valeur de Zj abstraction faite de multiples de périodes. Nous pouvons alors énoncer le théorème suivant :
Dans une courbe de genre un, les coordonnées x et y peuvent s' exprimer en fonctions doublement périodiques dUm paramètre 5, et cela de telle manière quà un point arbitraire de la courbe ne corresponde qu^une valeur de Zy abstraction faite de multiples des périodes.
G. Nous aurons bientôt à étudier une sorte de réciproque du ihéorrme précédent; mais, pour le moment, proposons -nous dt* retrouver le même théorème en nous plaçant à un autre point de vue que le point de vue alj^ébrique du § 4. Nous allons considérer, à cet ellel, l'intégrale de première espèce relative à la courbe de f;enre un^ et clierclier la nature de la fonction obtenue en faisant rinversion de cette intégrale. Soit donc la relation
équivalente à l'équation différentielle
Q( .r. y) dr ,
Les conditions initiales étant x=^Xoj ^>' =^>'o pour :; == ^o , quelle sera la nature de la fonction x de z ainsi définie? Nous
COURBES DBS GENRES ZÉRO ET UN. 5o5
voulons montrer que x est une fonction, uniforme dans tout le plan, n ayant d'autres points singuliers que des pôles.
En supposant que (jTq, Iq) ne soit pas un point de ramification ou un point multiple de la courbe, la fonction x sera une fonction holomorphe de :; dans le voisinage de z = Zq^ d'après le théorème fondamental (p. 3o4) sur l'existence de l'intégrale des équations différentielles. En étendant de proche en proche la fonction, le théorème fondamental cessera d'être applicable quand la variable z atteindra une valeur pour laquelle Q(jr, ^)=o; mais cette circonstance ne peut se présenter pour un point simple de la courbe, puisque l'adjointe d'ordre m — 3, dans les courbes du genre un, ne rencontre la courbe qu'aux points multiples. jNous devons maintenant examiner le cas où le point correspondant [x^y) de la courbe serait un point multiple ou bien un point de ramification, ou serait à l'infini. Il n'y a aucune difficulté dans le cas du point multiple, car, lorsque {x^y) se rapproche d'un point multiple sur une branche déterminée, le quotient
-^ — -'j^ — reste une fonction holomorphe de x ne s'annulant pas en
ce point, puisque la courbe Q = o ne peut avoir aucune tangente commune avec / en un point multiple [sinon, le nombre des points de rencontre dey et de Q s'élèveraitau-dessusdem(/7i — 3)]; X restera donc fonction holomorphe de z.
Pour le cas du point de ramification (a, 6), on posera
et Ton aura alors, pour -j-» une fonction holomorphe de x' dans
le voisinage de j:'---o; il en résulte que x\ et par suite x^ resteront des fonctions holomorphes de ;;, dans le voisinage de la valeur de z pour laquelle x --^ a.
Enfin, si, pour z - a, x devient infinie, le point {x, y) s'éloignant à l'infini sur une des branches de courbe, on posera
dx' et l'on voit encore de suite que -r: sera une fonction holomorphe de x' dans le voisinage de j:'= o; aucun point critique ne peut encore apparaître.
5o6 CHAnTRE XYll.
Nous pouvons ici faire les mêmes observations qu'à la page 336; les remarques précédentes ne suffisent pas à établir que x est une fonction uniforme de z dans tout le plan ; mais il n'j a qu'à procéder comme à Pendroit cité pour rendre la démonstration rigoureuse. En isolant les points de ramification et les points à rinfini, on prouvera, sans rien changer aux raisonnements, que l'extension de la fonction pourra se faire de proche en proche à Vaide dUin cercle de rayon p invariable^ de telle sorte que la fonction ou son inverse soit holomorphe à l'intérieur d'un cercle ajanl pour centre un point quelconque du plan et un rajon égal à p. Il en résulte que x est alors une fonction, uniforme dans tout le plan, n'ayant pour points singuliers que des pôles.
Le même raisonnement s'applique sans modification à y^ qui sera aussi une fonction uniforme de z,
7. Il est facile de se rendre compte de la nature des fonctions uniformes x Qly de z que nous venons de rencontrer. Leur propriété capitale est la double périodicité.
Rappelons-nous, en effet, que l'intégrale
a deux périodes lo et tu' (Chap. XiV^). En posant
w = c'-T- ic" s w' ~ d - id'^
on a l'inégalité fondamentale (p. 4o8)
c'd - c''dl> o,
inégalité qui exclut l'égalité. Il en résulte que le rapport des périodes
est nécessairement imaginaire.
On voit alors qu'à une même valeur de x correspondent, en choisissant convenablement le chemin allant de jr© à j?, une infinité de déterminations de l'intégrale différant de sommes de multiples des périodes lo et w'. On aura donc, pour x et y^ des fonctions doublement périodiques de z : c'est le théorème auquel nous étions déjà arrivé par une autre voie. A un point arbitraire
