Au lieu de prendre l'équation
à^u d^u .du du j,
on eût pu prendre l'équation plus générale
, . d^u , d^u d^u .du Ou ^
ox* âx dy dy^ dx dy •'
Il est, en effet, facile par un changement de variables de ramener l'un des cas à Tautre.
Faisons le changement de variables
L'équation (a) prendra la forme
d^u d^u ^ du ^ du „
si les deux fonctions X et Y satisfont aux équations
a (—Y b—— (—Y- (^Y 26—— c/^— V \dx / dx dy ^\dy) ~~ ^ \dx / dx dy \dy )
dx dx
\dy dx dx dy ) dy dy "^ '
On peut remarquer, et cela est intéressant pour la recherche effective de X et Y, que ces équations sont celles que l'on obtient en écrivant que la forme quadratique
c dx^ — ib dx dy -^ a dy^
se réduit, à un facteur près, à
Il résulte de cette remarque, diaprés ce qucDOus avons vu (t. I, p. i52), que, pour trouver deux fonctions X et Y de j: et ^ satisfaisant aux deux équations trouvées, il suffira d^intégrer une équation différentielle ordinaire du premier ordre.
Ceci posé, nous pouvons étendre à Téquation (a) le théorème
fondamental du § 19 dans le cas où la transformation à employer
est réelle, c'est-à-dîre si le point (x, y) est dans une région du
plan où
b^ — ac <C o.
On peut alors énoncer que, dans cette région du plan, il ne. peut y avoir plus d'une intégrale prenant une succession donnée de valeurs sur un contour y si ce contour est suffisamment petit,
22. Le changement de variables que nous venons de faire n'est pas le seul qu'on puisse utilement effectuer pour l'étude de l'équation (a). On peut encore transformer cette équation par un changement de variables en faisant disparaître les dérivées du premier ordre, comme l'a fait M. Bianchi (*). Pour que la transformée de (a), après le changement de variable
soit de la forme
il faut que/(^,^) et ^{x^y) satisfassent l'une et l'autre à l'équation (a). C'est ce qu'on voit de suite en effectuant le changement de variables; on devra prendre évidemment deux solutions de Téquation (a) qui ne soient pas fonctions l'une de l'autre.
23. Les méthodes employées dans les précédents paragraphes (*) Bianchi, Bendiconti délia R. Accad. dei Lincei, 1889.
PROBLÈMES RELATIFS A l'ÉQCATION DE LAPLACB. 29
supposent que les fonctions étudiées soient continues sur le contour ainsi que leurs dérivées du premier ordre. Elles correspondent à la deuxième démonstration donnée (§ 17) de l'impossibilité d'un maximum ou d'un minimum pour les fonctions satisfaisant à l'équation de Laplace. Nous n'avons pas eu besoin de ces hypothèses dans la première démonstration qui reposait essentiellement sur la propriété de la fonction harmonique d'être analytique. Dans le cas de l'équation (a) du § 21 on peut, en précisant la nature des coefGcients, démontrer que les fonctions qui y satisfont sont analytiques, et il est intéressant de rechercher si les résultats obtenus pour l'équation de Laplace, en partant de cette hypothèse, sont susceptibles de généralisation. C'est ce que nous allons montrer.
Nous supposons que dans l'équation (a) du § 21 les coefficients a, 6, c, rf, e, /soient des /onctions analytiques de a: et ^ dans la région considérée du plan. On suppose de plus expressément
6' — ac < o
dans cette région : a et c, qui sont alors de même signe, peuvent être supposés positifs.
On peut établir que toute intégrale de cette équation bien déterminée et continue dans la région considérée du plan ainsi que ses dérivées partielles des deux premiers ordres est ellemême une fonction analytique (* ).
Nous admettrons pour le moment ce résultat, et nous allons seulement en poursuivre quelques conséquences, en raisonnant comme nous l'avons fait au § 15 pour Téquation de Laplace. Considérons d'abord le cas où /est identiquement nul, c'est-à-dire où l'équation se réduit à *
d* I* , d^u ô^u .du du
' dx^ dxày oy* ox oy
Je dis qu'une intégrale u de cette équation ne pourra admettre ni maximum ni minimum.
( * ) E. Picard, Sur la âkéter minât ion des intégrales de certaine équations par leurs valeurs, le long d'un contour fermé {Journal de l'École Poly tecknique, 1890).
3o CHAPITRE I.
Soit, en effet, {x^^y^) un point dans le voisinage duquel u et ses dérivées partielles des deux premiers ordres sont continues; la fonction £/, étant analytique, peut être développée en série de Taylor
w = ?o -+- ?n(ar — aro, y —y%) H- ?«+i(a: — t©,/ — /o) -4-. . . ,
les çp désignant des polynômes homogènes en a? — Xq eiy — y^\ fo représente une constante, et si {x^^ y^) correspond à un maximum ou à un minimum, on a /i ^ 2. Substituons cette valeur de u dans Téquation (8) et égalons à zéro Tensemble des termes homogènes de moindre degré. On aura nécessairement
en désignant par ao, &0) ^0 les valeurs de a, 6, c pour j7 = Xo^
Le polynôme cp/, satisfait à une équation analogue à celle de Laplace; on peut la ramener à cette équation par un changement de variables réel
11 sufGt de suivre la méthode du § 21 , et, par conséquent, chercher la substitution précédente transformant
Co dx^ — 'k bo dx dy -^ aQ dy*
en
dX^-^dYK
\ Or c'est un problème d'Algèbre élémentaire que de chercher 'la
substitution linéaire
d\ = a cfcr -t- p {fy^
dY = ^ dx -\-^ dy,
transformant les deux formes l'une dans l'autre. La substitution sera réelle puisque 6J — a© Co <! o, et a© > o.
f n considérée comme fonction de X et Y satisfait donc à l'équation
PROBLÈMES RELATIFS À L^ÉQUATION DE LAPLAGE. 3l
La fonction (p,i pourra donc s'annuler en changeant de signe dans le voisinage de X = o, Y = o et, par suite, dans le voisinage de x = Xq, y =yo- Il est donc impossible que u ait un maximum ou un minimum pour x = x^^y ^^y^.
On en conclut de suite, en répétant le raisonnement fait pour l'équation de Laplace, qu^ il ne peut y a^oir deux intégrales de l'équation (S) prenant une succession donnée de valeurs sur un contour C.
On voit que l'équation (8) jouit, au point de vue qui nous occupe, des mêmes propriétés que l'équation de Laplace.
24. Revenons maintenant à l'équation générale , ^ â*u , d^u d*u .du du ^
en supposant toujours que le point (x, y) reste dans la région R du plan où 6* — ac est négatif, et les hypothèses sur les coefficients a, 6, c, ^, e, y restant les mêmes. Soit A un point quelconque de cette région R. Il existe certainement une intégrale z de cette équation ne s'annulant pas au point A et gardant par conséquent un signe invariable dans un certain domaine D autour de ce point.
Faisons dans l'équation le changement de fonction
u = zv.
L'équation en v sera du même type que l'équation (8), elle n'aura pas de terme en ç. Elle sera de la forme
az -r— -+- 26-5 -7 — T — h cz -T— T- -h id -7 h 2C 3- = o.
dx^ oxoy oy^ ox ay
Puisque z ne s'annule pas, par hypothèse, dans D, nous pouvons appliquer les résultats du paragraphe précédent. Il ne pourra y avoir deux intégrales de cette équation prenant la même succession de valeurs sur un contour C contenu dans D.
Nous pouvons par suite énoncer pour l'équation (a) le théorème suivant :
Autour d^ un point quelconque de la région R, on peut déli^
3a CHAPITRE I.
miter un domaine D, dans lequel le problème de la détermination d^une intégrale par ses valeurs sur un contour quelconque contenu dansD ne pourra avoir plus d'une solution.
C'est le théorème que nous avons obtenu aux § 19 et 21. On voit que nous n'avons pas eu besoin ici , dans les raisonnements employés, de faire intervenir les valeurs des dérivées partielles du premier ordre sur le contour. Le résultat est en ce sens plus précis, mais nous avons par contre Finconvénient de démontrer seulement l'existence de ce domaine suffisamment petit D, sans indiquer aucune possibilité de trouver effectivement un tel domaine, ce que notre première méthode (§ 19) nous avait au contraire permis de faire. Il resterait à rechercher si, pour les domaines trouvés dans la première méthode, on ne pourrait arriver à se débarrasser de «l'hypothèse supplémentaire relative aux dérivées du premier ordre. Cette discussion trouvera sa place dans une autre partie de cet Ouvrage.
25. Terminons ces généralités en considérant encore l'équation
d^u , â^u d^u ,du du ,
aj?* oxoy oy^ ox Oy ''
et supposant que, dans la région R où
lA — ac < o, « > o, on ait de plus/ -< o.
Nous allons montrer que dans ces nouvelles conditions il ne pourra y avoir plus d'une intégrale de V équation prenant sur tout contour fermé contenu dans R une succession continue donnée de valeurs.
Si deux intégrales prennent les mômes valeurs le long d'un contour, on aura une intégrale qui s'annulera le long de ce contour. Considérons donc une telle intégrale u de Téquation précédente; elle gardera un signe invariable dans le contour, ou bien elle s'annulera le long de certaines lignes ; dans le second cas, Taire se trouvera partagée en plusieurs aires partielles, sur le périmètre desquelles l'intégrale s'annulera, en gardant à l'intérieur un signe invariable.
PROBLÈMES RELATIFS A l'ÊQUATION DE LAPLACE. 33
Prenons l'une d'elles, et supposons u positif à l'intérieur. Pour un point au moins (^O)^o) ^ Tintérieur, u devra passer par un maximum; soit «/©> o la valeur de u pour [xq^ y^).
Développons u en série
//, qui est plus grand que un, doit être nécessairement égal à deux; car, dans le cas contraire, l'ensemble des termes constants dans l'équation se réduirait kf^Uo, en désignant par /o '^ valeur de f pour (xq, J^o) î on devrait donc avoir u^ = o, ce qui est impossible si la fonction n'est pas restée constamment nulle à l'intérieur de l'aire. Nous avons donc w = a; soit
ttj=a(ar — aro)« -4-2 p(a: — jro)(j'—j'o)-+- 7(^—70)*. Puisque (^o^^o) correspond à un maximum,
a < o, Y < o. p* — OL"^ <io.
D'autre part, en substituant dans l'équation diflerentielle la valeur de e/, on trouve de suite
(9) 2(rtoa-^a^oP4-CoY)-4-/oWo=o,
en désignant par «o? ^o> ^o les valeurs de a, 6, c pour (jCo?>'o)- On a d'ailleurs
ao>o, ro>o, ôj — aoCo<o.
Or de l'inégalité évidente
nous concluons successivement, en nous reportant aux inégalités
écrites plus haut,
(aoa-^CoV)*> 4«o<?o?',
La valeur absolue de ûTo^ -^ ^oY est donc supérieure à celle de 260^. Or ao3t -H CoY est négatif; donc
est certainement négatif. D'ailleurs /q 1/0 est aussi négatif, puisjuc P. - II. 3
lio^^i /o<^o. Nous sommes ainsi conduit à une contradiction, car la relation (9) devient, dans ces conditions, manifestement impossible. L^hj^pothèse faite est donc inadmissible : une intégrale nulle sur le contour sera nécessairement nulle à l'intérieur, ce qui démontre le théorème.
Comme exemple, citons Téquation
Il ne pourra y avoir plus d'une intégrale de cette équation prenant sur un contour quelconque une succession donnée de valeurs.
26. Nous avons, dans les paragraphes précédents, déduit nos conclusions de ce que les intégrales étaient nécessairement des fonctions analeptiques. Dans une Thèse récente (*), M. Paraf a montré qu'on pouvait arriver bien simplement aux mêmes conclusions, sans s'appuyer sur aucun résultat antérieur, ce qui dispense même de l'hypothèse que les coefficients soient des fonctions analytiques. Partons de l'équation
d^u d^u ()u , Ou ax* âjr* ôx oy
On suppose que, dans une aire A limitée par un contour C, le coefficient c soit constamment négatif (et non nul). Nous voulons montrer qu'il ne pourra y avoir deux intégrales de l'équation, bien déterminées et continues ainsi que leurs dérivées partielles des deux premiers ordres, prenant sur C les mêmes valeurs. Considérons, en efict, la différence u de deux telles intégrales, qui s'annule sur C. Nous allons voir qu'elle ne peut prendre aucune valeur positive dans A. Si, en effet, elle devenait positive, elle aurait une limite supérieure qu'elle atteindrait au moins pour un point (xq, J^o) ^6 l'intérieur de l'aire. Donnons alors à j^ la valeur fixe j^o et considérons la fonction u(^x^y^). Il est clair que
T- j est nul; d'autre part la formule de Taylor, arrêtée au se-
(' ) A. Paraf, Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, t. VI, 189a.
PROBLÈMES RELATIFS A l'ÉQUATION DE LAPLACB. 35
•cond terme,
montre que ( v-,) doit être négatif ou nul, car, dans le cas contraire, le second terme du second membre serait positif pour x iroisin de Xoj ce qui conduirait à w(^, J^o) > "(^o> ^o)- Ainsi donc, pour
on aura
<et pareillement
Candis que
du â^u .
du â^u ^
M > o et c < o.
Ces égalités et inégalités sont incompatibles avec l'équation différentielle. 11 est donc établi qu'aucune intégrale ne peut avoir dans  un maximum positif; elle ne peut non plus avoir un mi> nimum négatif, comme on le voit en changeant £^ en — u. Il en résulte que si la fonction u est nulle sur le contour, elle sera nulle à rintérieur. Ce résultat s'étend même au cas où, à Tintérieur du contour, c serait négatif 0£^ nul, tandis que, dans la démonstration précédente, nous avons dû supposer que c ne s*annuiait pas; nous renverrons pour ce point au travail de M. Paraf.
IV. — Problème de Dirichlet. Recherche de la fonction harmonique prenant des valeurs données sur un contour. Méthode de M* Nenmann.
27. Nous avons maintenant à chercher si, étant donnée une succession continue de valeurs sur un contour, il existe une fonction harmonique continue à Tintcrieur de l'aire limitée par le contour et prenant sur celui-ci les valeurs données.
Dans sa célèbre dissertation inaugurale, Ricmann adonné de ce problème, qu'il appelle le principe de Dirichlet, une démonstration extrêmement simple. Quoique cette démonstration ne présente pas une rigueur suffisante, nous devons l'exposer; elle rend
en cflet tout au moins très vraisemblable le théorème en question et elle est le type d'un genre de raisonnement fréquemment eûip\oyé en Physique mathématique et dont, faute de mieux, on doit souvent se contenter.
28. Commençons par démontrer le théorème suivant. Considérons une fonction harmonique u continue ainsi que ses dérivées partielles des deux premiers ordres dans Taire limitée par un contour C, et supposons que sur le contour lui-même u et ses dérivées partielles du premier ordre soient continues.
On forme Tinlégrale
i' représentant une fonction quelconque satisfaisant aux mêmes conditions de continuité que u et prenant sur le contour les mêmes valeurs. Dans ces conditions, r intégrale précédente sera mi ni ma pour v — n.
Soit, en effet, v — u=^ h\ la fonction li sera nulle sur le contour et Ton aura
-jim-my-'-
Or la seconde intégrale est nulle d'après la formule préliminaire de Green qui peut s'écrire
L'intégrale I est donc moindre pour r = u que pour toute autre fonction v prenant les mêmes valeurs sur le contour.
A. ce théorème, nous pouvons joindre une réciproque. Les conditions de continuité restant toujours les mêmes pour les fonctions considérées et celles-ci prenant de plus, toutes, les mêmes valeurs sur le contour, si U intégrale I est minima quand on met à la place de r une certaine fonction w, celle-ci satisfait à Véqua-
lion
