PROBLÈMES RELATIFS A L*ÉQUATION DE LAPLACE
Posons
a désignant une constante et h une fonction de x eiy s'anuulant sur C. Pour cette fonction, on aura
Or le coefficient de a peut s'écrire
— 2 / j h \udx dy.
Si ce coefficient n'est pas nul, la somme des deux derniers termes dans l'expression de I sera certainement négative si Ton prend a suffisamment petit et d'un signe convenable. Puisque, par hypothèse, l'intégrale I est minima pour v =. u^ il faut nécessairement que
(10) / I h \udxdy = o.
Or la fonction h n'est assujettie qu'à la condition de s'annuler sur C et d'être continue ainsi que ses dérivées partielles des deux premiers ordres. Supposons qu'en un poiçt (^o)^o) ^ l'intérieur de l'aire, A;^ ne soit pas nul : il sera d'un signe invariable dans le voisinage, soit à l'intérieur d'un cercle Y de rayon payant (ji^Oî^Ko) pour centre. Définissons alors h par la condition qu'elle soit nulle entre C et F, et que, à l'intérieur de F,
A = [p«-(ar-2ro)«-(7-j^o)']
Si l'entier m est supérieur à deux, la fonction ainsi définie s'annulera sur C et sera continue ainsi que ses dérivées partielles des deux premiers ordres. Mais pour une telle fonction, l'intégrale (10) ne pourra évidemment pas être nulle. Il en résulte qu'en tous les points de Faire
Am = o,
comme nous voulions l'établir.
29. Les deux théorèmes précédents sont à l^abri de toute objection. Il n'en est pas de même de la fîn du raisonnement par lequel Riemann établit Texistence d'une fonction harmonique u prenant des valeurs données sur un contour.
Considérons toujours l'intégrale
fim-m'h^-
i' désignant une fonction quelconque assujettie seulement, sauf les conditions indiquées de continuité, à prendre la succession de valeurs données sur le contour. Cette intégrale est nécessairement positive et ne peut s'annuler; il y a donc une limite (') au-dessous de laquelle elle ne peut descendre. Désignons par u la fonction pour laquelle V intégrale atteindra son minimum; la fonction w, d'après le théorème précédent, sera harmonique et le problème de Dirichlet se trouve ainsi résolu.
J'ai souligné le point défectueux dans la déduction précédente. On ne peut être certain a priori qu'il existe une fonction m, satisfaisant aux conditions de continuité, pour laquelle l'intégrale atteigne eflectivement sa limite inférieure. C'est là une objection capitale qu'il semble impossible de tourner. Aussi ce mode de démonstration n'est-il plus aujourd'hui considéré comme suffisant; il présente de plus un autre inconvénient : il ne donne aucun moyen d'obtenir, ne fiU-cc qu'approximativement, la solution que Ton cherche.
30. Le problème proposé, que nous avons déjà donné dans le cas du cercle (p. i6), a été traité rigoureusement par M. C. Neumann dans le cas d'un contour convexe. M. Schwarz a montré ensuite comment on pouvait, dans des cas étendus, passer d'un contour convexe à un contour plus compliqué, ce qui lui a permis de traiter la question dans le cas d'un contour limité par des arcs réguliers de courbes analytiques. Enfin M. Poincaré a donné du
(*) Nous admettons ce point sans plus d'explication, mais il ne présente aucune difficulté, comme le montre Hiemann dans sa Dissertation. On pourra aussi consulter sur cette question du principe de Dirichlet, d'après Riemann, la Thèse de M. Simart (Paris, 1882).
PROBLÈMES RELATIFS À l'éQIjATION DE LAPLACE. 89
problème de Dirichlel une méthode extrêmement originale et qui diflnère complètement par le point de départ des méthodes précédentes. Nous nous bornerons dans ce Chapitre à développer la méthode de M. Neumann, qui nous servira en même temps à établir quelques propriétés importantes de la fonction harmonique. Les méthodes de MM. Schwarz et Poincaré seront développées dans d^autres Chapitres.
Nous avons déjà donné, dans le cas de Tespace, la méthode de M. Neumann, modifiée en mettant à profit une idée de KirchhofT : nous suivrons absolument la même voie dans le cas du plan.
Nous avons supposé que la surface considérée était convexe et avait en chaque point un plan tangent déterminé. Nous garderons pour le contour plan, que nous avons maintenant à considérer, les mêmes hypothèses, sauf toutefois que le contour, toujours convexe, pourra avoir un nombre limité àe pointes. En ces derniers points, le contour aura deux tangentes.
31. Une intégrale analogue à celle de Gauss (t. I, p. 121) nous sera fournie par l'intégrale
(I.) Jr''''
étendue à une courbe fermée C, r désignant la distance d'un point fixe A à un point M de l'élément d'arc variable dv de la courbe, et Tangle ç représentant l'angle de la direction MA avec la normale intérieure à la courbe au point M.
La signification géométrique de cette intégrale est immédiate; elle représente la somme des angles, pris avec un signe, sous lesquels du point A on voit les éléments d^ de la courbe. L'intégrale (i 1) sera donc égale à inz quand le point A sera à l'intérieur de la courbe C, elle sera nulle quand le point sera extérieur à la courbe, et elle sera égale à tt quand le point sera en un point ordinaire de la courbe. Si enGn le point A est une pointe du contour, l'intégrale sera égale à l'angle a que font les tangentes aux deux courbes qui forment la pointe. Dans l'hjpothèse où nous sommes d'un contour convexe, a sera inférieur à t..
Nous pouvons généraliser l'intégrale précédente, comme nous l'avons fait (t. I, p. i53). Désignant par a, b les coordonnées
4o CHAPITRE I.
(le Â, nous formoDS rintégralc
où \k désigne une fonction continue du paramètre qui fixe la position d'un point sur la courbe. Cette intégrale, considérée comme fonction de (a, b), est une fonction continue, ainsi que ses dérivées partielles quand le point  est à Tintérieur ou à Textérieur de la surface. De plus, elle satisfait à Téquation de Laplace^ c^esl ce qu'on voit de suite en mettant l'intégrale sous la forme
Jr d\osr ,
car ^=— cos» (t. I, p. i^a).
Or pour un point {x, y) du contour C, logr considéré comme
fonction de {a, b) satisfait à l'équation de Laplace, et il en est
par suite de même de
</log/-
dn ce qui entraîne la même conclusion pour l'intégrale.
La fonction V(a, b) éprouve une discontinuité pour le passage par la courbe C. Pour étudier cette discontinuité, il n'y a qu'à suivre, sans y rien changer, le mode de raisonnement employé pour l'espace (t. 1, p. i54). La seule différence sera que tz sera
partout remplacé par ;^ dans les formules, puisque la circonférence
de rayon un est égale à 211, tandis que l'aire de la sphère de rayon un est égale k ^tz. Prenant un point (îxe s sur la courbe C, et désignant par tjLj la valeur de tji en ce point, on montrera que
Jr ^
est une fonction continue de(<7, 6), au point 5, c'est-à-dire qu'elle tend vers la même valeur, de quelque manière que le point {a, b) tende vers s. En conservant les mêmes notations, on aura donc
PROBLÈMES RELATIFS A l'ÉQUATION DE LAPLACE. 4^
Ces formules supposent que le poînl s ne soit pas une pointe sur le contour. S'il en était ainsi, a désignant Tangle des tangentes, on aurait, en écrivant toujours que W(a, b) est continue au point ^,
32.- On établira encore une remarque analogue à celle du § 10 (t. I, p. i55). On partage la courbe C en deux parties a et ^, et soient ^ et ^ deux points quelconques de la courbe. Désignons d^une manière générale par IJ l'intégrale
°rf.
relative au point s et étendue à une portion y de la courbe. On peut trouver un nombre X compris entre zéro et w/i, tel que Ton ait
quelles que soient les positions de s et s' sur la courbe.
Je ferai seulement une remarque sur la démonstration, remarque que nous n'avions pas eu l'occasion de faire pour les surfaces convexes, leur supposant toujours en chaque point un plan tangent unique. Il est un cas où la somme
peut atteindre zéro. Il faut pour cela que chacun des deux termes s'annule; la partie a devra donc se composer de deux droites dont s est le point de rencontre, et il en est de même de p, qui se composera de deux droites se rencontrant en 5'. La courbe convexe, que nous considérons, se réduira alors nécessairement à un triangle ou à un quadrilatère. Ce sont les seuls cas où n'existe pas ce nombre X, différent de zéro. Ces deux courbes sont donc exclues pour l'application de la méthode.
