On établira enfin une dernière propriété de l'intégrale

prise pour un point s de la courbe C. Il n'y a, je le répèle,

qu*à changer tc en - dans tous les raisonnements et calculs (t. I,

p. 1 57). En désignant par M et m le maximum et le minimum de {x sur la courbe, on a, pour deux points quelconques s et 5{ de C,

où le nombre p (qui est égal ai — X) est une constante positive comprise entre zéro et un.

En particulier, si M| et /72| désignent le maximum et le minimum de V, sur C, on a

34. Il suffira maintenant d'indiquer l'énoncé de la solution du principe de Dirichlet; on se reportera pour la démonstration (•) au Tome I, p. i58.

Soit une fonction continue U définie sur la courbe C; en désignant toujours par U, la valeur d'une fonction U au point 5, je forme l'intégrale

Ui(a,6)=--1- rS^(U-U,)^cr.

Quand le point (a, b) est en j?, elle a une valeur parfaitement déterminée UJ. L'ensemble de ces valeurs, quand le point s se déplace sur la courbe C, définit une fonction U* sur cette courbe. Formons de même l'intégrale

qui permettra de définir une nouvelle fonction U^ sur C; et ainsi de suite en ayant d'une manière générale

La série

C) Je profite de l'occasion pour rectifier une erreur d'impression. Au lieu de puisque U — U, est compris entre 3 M et 2m (ligne 9 en remontant, page iSq). il faut lire puisque U — U, est compris entre M — m et w — M.

PROBLÈMES RELATIFS A l'ÉQUATION DE LAPLACE. 4-^

est convergente sur la courbe C, et V intégrale

air Jf, r

résout le problème de Dirichlet^ cest-à-dire qu'elle satisfait à Véquation de Laplace^ et que ^{a, b) tend vers U,, quand le point (a, b) intérieur à C tend vers le point s de cette courbe.

3d. Dans ce qui précède, nous avons supposé que la succession des valeurs données sur le contour était une fonction continue. Il est intéressant, pour diverses applications, d'examiner le cas où la fonction U, donnée sur le contour, tout en étant en général continue, aurait un certain nombre de points de discontinuité où elle passerait brusquement d'une valeur finie à une autre valeur finie. Supposons, par exemple, qu'il y ait sur le contour deux tels points A et B(Jig. 2), et soient, quand on parcourt le contour dans le sens positif, a et b les valeurs correspondantes des discontinuités, de telle sorte que, si Ux e désigne la valeur de Un quand

le point variable M tend vers  en marchant dans le sens de la flèche, et si Vj^^^ désigne la valeur limite de Un quand M tend vers A dans le sens inverse, on ait

Ua-c — Ua-hs = <5r et, de même,

Ub-e — Ub+e = b.

Pour résoudre, dans ce cas, le problème de Dirichlet, on pourrait suivre la méthode précédente en commençant par discuter rintégrale généralisée de Gauss, quand la fonction [x éprouve des discontinuités de la nature indiquée. M. Schwarz a montré que le cas où la fonction U est discontinue peut se ramener immédia-

icmcnt au cas où la succession des valeurs données sur le contour est continue (*). Concevons, en effet, la fonction U prenant sur le contour la succession, discontinue en  et B, de valeurs données ; si l'on désigne par (a, a') et (P, P') les coordonnées de A et B, la

fonction

a Y — ol' b Y — 0' - arc lang 1 — arc tanc ^

T. ^ X — a Tz a? — p

est parfaitement déterminée dans Taire limitée par C, quand on a une fois choisi, en un point, la détermination que Ton veut adopter pour les arc tang; de plus cette fonction est une fonction harmonique. Enfin, quand le point {x^y) tend vers  en suivant le contour, d^abord dans le sens positif, puis ensuite dans le sens négatif, la différence des deux valeurs limites est manifestement égale à âr, si, comme nous le supposons,  n'est pas une pointe. La différence analogue pour B est égale à b. Or formons maintenant l'expression

tr iT ^ y — ^' f> y — 3'

V = U arc tang arc tang ^ •

La différence des deux valeurs limites que prend cette fonction quand (x^y)^ sur le contour C, se rapproche de A d'un côté ou (le l'autre, sera égale à zéro, et il en sera de même pour B. Admettons que cette expression qui, à proprement parler, n'a pas de valeur en A, ait pour valeur la limite précédente relative à ce point, et de même pour B; nous pourrons dire alors que la fonction V prend une suite continue de valeurs sur le contour C et nous pourrons l'obtenir comme il a été vu plus haut. On en déduira la valeur de U par la formule

TT mr « Y — ol' b y—^'

u = V H — arc lanff 1 — arc tang ^ •

t: ^ X — a Tz ^ X — p

36. Les considérations précédentes nous permettent de déterminer une fonction harmonique U qui, en dehors des points A et B, prend sur le contour une succession continue de valeurs

(*) M. Jules Riemann a tiré très heureusement partie de la même idée dans le cas des aires limitées par plusieurs contours. Voir sa Thèse sur le problème de Dirichlet {Annales de l'École Normale, i888).

problèhes nsLATiPS a l'éqiation de laplace. 4^

données. Il n'est pas certain, d'après ce qui a été vu jusqu'ici, que cette fonction soit unique. Le résultat est cependant exact si Ton ajoute l'hypothèse que la fonction reste, en valeur absolue^ inférieure à un nombre fixe dans le voisinage des points de discontinuité.

Il faut, pour établir ce théorème, montrer qu'une fonction harmonique U prenant sur C la valeur zéro, sauf en certains points A et B dans le voisinage desquelles on suppose qu'elle reste finie, est nécessairement nulle identiquement.

Nous démontrerons ce résultat en supposant que le contour C se réduise à un cercle. Ce ne sera pas restreindre la généralité du théorème si l'on admet, comme il sera démontré plus tard, qu'on peut faire la représentation conforme de l'aire considérée sur un cercle (Chapitre XI).

Nous considérons donc une circonférence C de rayon R et de centre O et deux points A et B sur cette courbe. Nous donnant d'abord un nombre r, fixe, mais aussi petit qu'on voudra, nous traçons deux angles a et [i d'ouverture 9.-r\ et de sommet O, ayant respectivement OAet OB pour bissectrices. On peut, d'autre part, trouver un cercle R< (R< << R) tel que, sur la portion de cette circonférence extérieure aux angles a et p, les valeurs absolues de U soient moindres que £, en désignant par e une seconde quantité donnée à l'avance aussi petite qu'on voudra. Sur les arcs de la circonférence R< correspondant aux angles a et 3, on aura, d'après l'hypothèse faite,

M étant une constante fixe.

Nous pouvons déterminer la fonction harmonique U en nous servant de la formule de Poisson relativement à la circonférence R| . On voit alors que, pour un point quelconque P, intérieur à cette circonférence, on a

I U|.|<X£-+- [ir,,

X cl (A étant deux quantités finies indépendantes de e et y; : c'est ce

qui résulte de suite de la décomposition de l'intégrale en deux

parties. Or e et T»,sont deux constantes aussi petites que l'on veut.

11 est donc bien établi que la fonction harmonique U est rigoureuse me n t nulle .

Il est facile de donner un exemple d'une fonction harmonique s*annulant en tous les j)oints d'une circonférence, sauf un seul, continue d'ailleurs à l'intérieur et n'étant pas identiquement nulle. Il suffit de prendre

a étant une constante. Celte fonction s'annule sur la circonférence représentée j)ar l'équation

x~r- a(x^-hy^) = o,

sauf à l'origine; son module ne restant pas au-dessous d'une limite fixe M, le théorème précédent n'est pas applicable.

37. Il est intéressant de rechercher quelle est la limite des valeurs que prend U(x,j^') quand le point (^, ^') tend vers un point A du contour où la succession des valeurs données est discontinue. On y parvient de suite, en se reportant à la formule

I A' V <^ . y — *' u — V -+- > - arc tan^ :

V a en chaque point de discontinuité une vîileur déterminée. Supposons, en premier lieu, que le point (j:,^) se rapproche du point A, en restant sur le contour G et en marchant d'abord dans le sens positif et ensuite dans le sens négatif. En écrivant U sous la forme

U — W -T arc tani: ^- >

W étant comme V parfaitement déterminée en A,*on aura successivement les valeurs limites

(a) WA-t--0,

(P) WA+"(0-r),

0 désignant l'angle que fait avec Oœ la tangente à la courbe en A menée dans le sens négatif. On aura donc, quand le point (^^y)

PROBLbXES RELATIF6 A L^ÉQUATION DB LAPLACE. ^7

^end vers Â, en étant à l'intérieur de la courbe,

V correspondant à la direction limite suivant laquelle {x^ y) tend vers A, et Ton a

l'expression (y) est comprise entre (a) et(P).

En faisant varier (/ on obtiendra toutes les valeurs comprises entre les deux valeurs extrêmes (a) et (P). Ce résultat est bien d'accord avec ce que nous avions trouvé dans le cas particulier du cercle (t. 1, p. 255).

Supposons, en particulier, que la succession des valeurs données soit>5^ro sur une partie de la courbe et un sur l'autre. Soit toujours A un des points de discontinuité. Il résulte de ce qui précède que si (x, y) tend vers A en restant sur une courbe qui ne soit pas tangente à la courbe C en A, la limite des valeurs que prend \i{x,y) est un nombre \ plus petit que V unité. Nous aurons plus tard à faire usage de ce cas particulier.

DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES ET PROLONGEMENT ANALYTIQUE DES FONCTIONS HARMONIQUES ET DES FONCTIONS D'UNE VARIABLE COMPLEXE.