Ceci rappelé, proposons-nous une question inverse en con

DÉVRLOPPEMKNTS KN SÉRIKS. ^9

sjidérani a priori une série de la forme

(i) Ao - ^^ r'"{\m cosmo h- Bm sin/wto).

les A et B désignanl des coiislanles. .reiivisage les deux séries

^\„,r'» et ^Bmr"'.

Ce sont deux séries ordonnées suivant les puissances croissantes de r. Elles ont donc chacune un certain champ de convergence (t. 1, p. 199); prenons le plus petit de ces deux champs de convergence, soit rinlervalle ( — L, -+- L). La série (i) sera uniformément convergente quand le point (x^y), (x- r cosrf, y=rz rsin'f) sera à l'intérieur du cercle de rajon 1^ — e, s étant une quantité fixe aussi petite qu'on voudra; les deux séries

sont, en effet, convergentes pour/*<' L.

Nous appellerons cercle dti convergence de la série (i) le cercle cle rayon L ( * ). Cherchons quelques propriétés de la fonction de ^ et de '^, ou de x et y, ainsi définie dans ce cercle. Soit

^m et Vm^ nous Tavons déjà dit, sont des polynômes homogènes et de degré m en x et r, et l'on a

Nous avons donc la fonction \{x,y) définie, dans le cercle de rayon L, par le développement

nt —

V(J',^')= Ao--- ^ (A,„^/^-T B,„V,n)'

(') Il n'est pas impossible que la série converge en dehors de ce cercle, mais nous ne nous occupons de la série qu'à l'intérieur de ce que nous appelons le t:ercle de convergence.

5o CHAI'ITRB II.

Montrons d'abord que la fonction V(jr,j^)aura des dérivées partielles de tout ordre et qu'on pourra les obtenir en faisant la somme des dérivées correspondantes des termes de la série. 11 suffira de démontrer le même théorème pour la série (i) considérée comme fonction de r et de © ; soit donc

U(r, «p)= Ao-T- N^ r"'(km cosmo -f- B,„sin/7i<p).

Nous allons supposer r^U, U étant une quantité plus petite que L mais qui en est aussi voisine qu^on voudra. Les deux séries

2|A,,|L'- et 2|B,,|L'-

sont convergentes ainsi que les séries

On aura d'abord évidemment, d'après les propriétés des séries entières,

m=^ ao

âr

X mr^-^(\nt cosmo -H B,n sinmo).

Prenons maintenant la série des dérivées par rapport à ^

y^ //i /•"•(— \f„ sin w<p -:- B,„ cos/np).

Cette série sera convergente, et de plus, si on la considère comme fonction de cp, elle sera uniformément convergente, © variant de o à o.t:. Donc, d'après un théorème fondamental (t. 1,

p. 197), elle représentera — - • Le théorème démontré pour les dé-

rivées du premier ordre, qui sont des séries de même forme que la proposée, s'étend aux dérivées de tout ordre.

Ainsi la série (1), considérée comme fonction de r et de cp, a des dérivées partielles du premier ordre qui s'obtiennent en formant la série des dérivées des termes successifs. Par suite, on aura le même théorème pour la fonction V considérée comme fonction

DÊVELOPPEMBNTS EN SÉRIES. 5l

dex eiy. Remarquons de plus que V a des dérivées partielles de tout ordre qui se trouvent représentées par des séries de même forme. Ainsi

d\ VI 7 . au

2 O^- ':£= - »~ îf )

mais

onc

ir conséquent

^= V (//iA«a;„i-i-//iB/„i',„i).

^^ DUS avons donc une série de môme forme. Prenons maintenant les dérivées secondes

^t puisque On aura

^Mm = O, AP,n = O,