AV ^. O
Ainsi /a fonction V(x, j^) représentée par la série, est, comme chacun de ses termes^ une fonction harmonique et continue à l" intérieur du cercle de rayon L.
Cette proposition esl, en quelque sorte, l'inverse de celle que nous rappelions au paragraphe précédent. Il est clair que, si dan» les expressions précédentes nous remplaçons x par x — x^ fX y par V — y^^ nous aurons des fonctions définies dann dcn cercle» ayant pour centre (^oj^o)-
bl CHAPITRE II.
3. Reprenons une fonction harmonique V(j7,>'), continue à Tinit^rieur d'un cercle C de rayon R ayant l'origine pour centre. On suppose qu'on ne sache rien de la nature de la fonction sur la circonférence elle-même. Pour elFectuer le développement en série de la fonction, on doit prendre une circonférence de rayon R', moindre que R, et le développement déjà rappelé au § 1 de ce (Chapitre, nous donne à l'intérieur du cercle de rayon R'
tfi
( 'A ) V (x, y ) - Ao -r- ^ r"' ( A „, cds m o -f- Ij,» siii m o ).
ml
On peut se demander si ce développement est indépendant de R'. Il est aisé de voir que A^ et B,„ ne dépendent pas de R'; soit, en enfel, pour R"<'R' un aulre développement de \{x^y)\ en faisant la diflérence de ces deux séries, on aurait une identité de la forme
O — ao - ^ /•"* ( 0L,n cos m o -^ p,,, sin //t ç ) ( r < R").
La série ordonnée suivant les puissances croissantes de /*, qui fif;ure dans le second membre, ne peuï être identiquement nulle
(|ue si
%tn cos m ^ -■:- p,;, sin/ncp — o,
(|uel que soit '^, c'est-à-dire que a,„--: ^,,1^^ o, et les coefficients des deux développemenls supposés sont identiques. La série (2) définit donc la fonction pour tous les points intérieurs au cercle C de ravon R.
Ceci posé, prenons à l'intérieur de ce cercle un point arbitraire (xo,J'o) autre que l'origine. Du point (xo,^)'o) comme centre, décrivons le cercle C tangent intérieurement au cercle G; la fonction V(j:,j^)à l'intérieur de ce cercle j)ourra être développée en une série de la forme
les P et Q étant des constantes.
Une remarque capitale est à faire sur cette dernière série. Son
cercle de convergence a un rayon au moins égal à celui du cercle (y), mais il ne lui est pas nécessairement égal. Soit F {fig> 3) ce cercle de convergence; supposons son rajon plus grand que
Fig. 3.
celui de (y). On voit que la fonction V(j:,y) se trouve maintenant définie dans une région où elle n'était pas déterminée par le premier développement en série, à savoir la parlie ombrée dans la figure intérieure à F et extérieure à C. Ce fait est extrêmement important; on dit alors que Von a effectué le prolonp^enient analytique de la fonction V au delà de l'arc a^ de la circonférence C (a et ^ désignant les points de rencontre des circonférences C et F).
On pourrait, At la même manière, chercher à effectuer le prolongement analytique de la fonction au delà d'un arc de la circonférence F, et ainsi de suite, de proche en proche.
Les circonstances les plus variées peuvent se produire dans la recherche de ce prolongement analytique. On pourrait tout d'abord être arrêté dès le début, c'est-à-dire qu'il pourrait arriver que,' quel que soit (^^o, j"o), le cercle F fût le cercle y; alors le prolongement analytique de la fonction au delà du cercle C est impossible. Dans d'autres cas, en prenant pour les circonférences F une succession de centres situés sur un arc de courbe joignant le point O à un point A du plan, on pourra atteindre le point A; il pourra arriver aussi qu'on n'atteigne pas ce point. Enfin, en allant du point O à ce même point A par deux chemins différents, on pourra ne pas trouver la même valeur à l'arrivée : la fonction prolongée présentera alors quelque singularité dans Faire limitée par les deux chemins.
54 CHAPIT1IR II.
4. Il est facile de citer des exemples d'une fonction ne pouvant être prolongée au delà d'un cercle C. Reprenons, en effet, rinlégrale de Poisson
(|ui définit une fonction harmonique V(j:, >) prenant sur le cercle C de rayon R, ayant Torigine pour centre, la succession des valeurs données par la fonction /(•})• Si la fonction peut être prolongée au delà d'un certain arc aj3de la circonférence C, il faudra nécessairement (\\ic f{i^) soit une fonction analytique de ij/ sur cet arc; en effet, \{x^y) sera alors une fonction analytique de x iriy dans une certaine aire comprenant l'arc ap à son intérieur, et comme X et j', qui sont égaux à Rcos^J^ et R sin'j^ sur le cercle, sont des fonctions analytiques de ^J», il en résulte que V(x,^') sera une fonction analytique de ç sur l'arc a^. Or nous pouvons prendre poury('i) une fonction continue ayant 2 7t pour période et qui ne soit pas une fonction analytique de '} : telle est la fonction donnée par M. Weierstrass, comme premier exemple d'une fonction continue n'ayant pas de dérivée,
où b est une constante positive plus petite que l'unité, a un entier
impair supérieur à un, et où l'on suppose de plus </i^}> 1 H {voir
par exemple, pour la démonstration, Jordaa, Traité d^ Analyse, t. III, p. 377).
5. Nous allons faire deux remarques générales sur les fonctions harmoniques, qui nous seront plus tard utiles et où nous aurons à invoquer la notion de prolongement analytique qui vient d'être étudiée dans les paragraphes précédents.
La première remarque est relative à une fonction harmonique, bien déterminée et continue dans une aire A, et que Ton suppose constante dans une aire B, intérieure à A, et d'ailleurs aussi petite qu'on veut. La fonction sera constante dans A ; en effet, pour faire le prolongement analytique de l'expression en dehors de B,
on n'aura à employer des séries de la forme de celles considérées au § 2,
Ao -f- ^ r"» ( A;,, cos m o -T- B^ sin m o ).
Tous les coefficients, sauf le premier, doivent être nuls, puisque pour r assez petit, correspondant à des points dans B, la fonction se réduit à une constante. En étendant donc ainsi la fonction de proche en proche, on voit qu'elle sera constante dans toute rétendue de A.
La seconde remarque est relative aux valeurs d\inc fonction harmonique U à Pintérieur d'un contour C sur lequel elle prend une succession de valeurs. En supposant d'abord cette succession continue, soient M et m le maximum et le minimum de la fonction sur le contour. Je dis que, pour tout point à l'intérieur, on
aura
m < U < M (on suppose M /- m)^
chaque inégalité excluant l'égalité. La fonction ne peut évidemment prendre de valeurs supérieures à M ou inférieures à m, car autrement elle aurait, à l'intérieur, un maximum ou un minimum. De plus, il est impossible qu'en un point a de l'intérieur on ait
car, si Ton décrit, autour de a comme centre, un cercle F de rayon arbitraire p, on aurait (Chap. I, § 10)
inégalité impossible puisque, sur F, U ne peut être constamment égal à M.
Si l'on suppose que les valeurs de U sur le contour soient discontinues, comme au Chapitre I (§ 35), désignons toujours par M et m le maximum et le minimum de ces valeurs (pour les points limites, on considérera la valeur comme double, en prenant les deux limites). Les inégalités
subsistent pour tout point intérieur. Kn eflfet, quand Ix^y) tend
56 CHAPITRR II.
vers un poinl de discontinuité, la valeur limite de L' est comprise entre M et/// (Chap. I, § 15); il n'y a donc rien à changer au raisonnement précédent.
(). Nous terminerons ces généralités en démontrant un tliéorèiue dû à M. Harnack (*). Considérons d'abord, dans un lemme pr<^liminaire, la suite
de fonctions harmoniques à l'intérieur d'un contour C On suppose que, sur le contour, la série
des valeurs de ces fonctions soit ttni/orf/irment convergente. Je r/is que la série
sera uniformément convergente à l'intérieur de l'aire et représentera une fonction harmonique.
D'après la définition donnée (t. I, p. 195) de la convergence uniforme, on pourra prendre n assez grand, s étant donné à Tavance. pour que, en tout point du contour, on ait, quel que soit/>,
f)r, d'après les propriétés des fonctions harmoniques,
à l'inléricur de l'aire, est inférieure au maximum de
sur le contour ; il en résulte immédiatement que la série
woH- l/t -h. . .-- u„ r . . .
est uniformément convergente à l'intérieur de l'aire.
Montrons maintenant que cette série représente une fonction
(') Voir l'Ouvrage déjà cilé de M. Harnack : Die Grundiagen der Théorie des togarithmisrhen Poientitiles, p. 67; 18M7.
DÊVRLOPPBMENTS EN SÊRIKS. 67
harmonique. Nous considérons, à cet effet, une circonférence G h rintérieur de l'aire; soient
les valeurs des u sur cette circonférence. La sérif
(4) Vo-H V| -♦- . . .- Vn-7-. . .
sera évidemment uniformément convergente sur G. Prenant alors pour le cercle l'inlégrale de Poisson .
/% Jir |>5 j
(5) - / (VoH- V,-i-...-- V„-4-...j j- ^ T- —d^
'1 t: J^ R* — 2 R r cos ( <J/ o ) -h r«
et appelant p/, le reste de la série (4) correspondant au rang /i, nous pourrons, pour les points de Tintérieur du cercle, écrire cette intégrale sous la forme
ai: ,/p ^ R* — •iRrcos(^ — îp)-i-r'
Or i p^ I < e pour tous les points du contour; par conséquent, la série
I/o -+- Ml -♦-... -r- a,» -h .'. .
est représentée par l'intégrale (5) à Tîntérieur du cercle ; elle représente donc une fonction harmonique. D'ailleurs, d'après ce qui précède, il est bien évident que cette série tend vers la série des L quand (j^ty) se rapproche d'un point du contour.
Nous pouvons maintenant démontrer le théorème suivant : Soif une série
de fonctions harmoniques toutes positives à l' intérieur dr traire limitée par un contour G. Si cette série converp^e en un point O de V intérieur de l'aire y elle converffera en tous les points de V intérieur de Caire et représentera une fonction harmonique.
Soit V une fonction harmonique positive définie le long d*iin cercle F de centre O et de rayon R; on a
