SIC
Pour un point A de rintérieur du cercle, on a
AM
Va- — / V— — rfi];,
^^ Jù A M
en désignant par /- la distance OA et AM représentant la distance de A au point variable M correspondant à l'angle ^ sur la circonférence. Il est clair que
Donc, puisque les V sont positifs,
Ceci dit, décrivons, du point Ode l'énoncé précédent, un cercle qui soit intérieur à l'aire, la série
Mo -- Ml H- . . . -^ Mrt -+- . . .
convergera pour tout point intérieur à ce cercle. On a, en effet, quels que soient les entiers n et w,
les u^ et les w^ désignant d'une manière générale les valeurs de u en O et en A. La série convergente pour le point O convergera donc pour le point A. Il est évident qu'elle convergera uniformément sur toute circonférence intérieure à la circonférence primitivement tracée ; d'après le lemme, elle représente, à l'intérieur de celle-là, une fonction harmonique. En allant de proche en proche, on peut atteindre, en considérant une suite de circonférences, tout point de l'intérieur de Taire, et le théorème se trouve, par suite, établi. On remarquera que la série sera uniformément convergente à l'intérieur de toute aire comprise dans l'aire que limite C et n'ajant aucun point commun avec cette courbe.
DÉYBLOPPEMBIVTS EN SÉRIES. 69
II. — Fonctions harmoniques à l'infini. Problème de Dirichlet
pour l'extérieur d'une aire.
7. Nous avons toujours considéré, jusqu'ici, des fonctions harmoniques pour des valeurs finies de x et j^. On étudiera les fonctions harmoniques dans le cas où le point (:r, y) s'éloignera indéfiniment, en s'appuyant sur la propriété suivante de la transformation par rayons vecteurs réciproques. On sait que cette transformation, quand l'origine est le centre de la transformation, s^exprime analytiquement par les formules
X = — r r> Y = — r— ^ - (X* étant UDC constaiite),
OU les formules équivalentes
a? = ^cr: «,i >
Ceci posé, si V(x, j^) désigne une fonction harmonique ,
sera encore une fonction harmonique.
Ce théorème, que vérifierait immédiatement un calcul direct, peut encore s'établir en se rappelant (t. I, p. 4^0 que, si la transformation
conserve les angles, l'équation
dx^ ày^
devient, après le changement de variables,
a^V d» V dX« "^ dY« "" ^'
Du théorème précédent, on conclut que l'étude de la fonction harmonique V(jr,^), pour de grandes valeurs de x et de x, re-
^k) CHAPITRE II.
vient à Tétiide de la fonction harmonique de X el Y,
dans le voisinage do \ r o, Y— m).
8. Nous pouvons drfinir maintenant ce qu^on doit entendre par fonction harmonique réf^ulière à r infini. Soil une fonction harmonique V(j:,j'), uniforme et continue à Textérieur d'un cercle F ayant Torigine pour rentre, pour toute valeur finie de x ely. En faisant la transformation prf^cédente, nous avons k considérer la fonction
W(X, Y) est une fonction harmonique, bien déterminée el continue, pour tous les points (X, Y) de l'intérieur du cercle F' transforme^ de r par rayons vecteurs réciproques, sauf peut-être pour l'origine X r-= o, Y'^ . o. Si et; dernier point est aussi un point ordinaire pour la fonction W(X, Y), on dira que /a /onction V(x, y) est réf^ulière à l'infini.
Indiquons une forme' remarquable pour le développement de V(.r,j^') à l'extérieur de F. Nous avons vu qu'à l'intérieur de F' on a, pour W(X, Y),
(8) W,\. Y) :2iv,„(\,Y),
iv„i(\^ Y) désignant un polynôme harmonique homogène el de degré /w en X et Y. On a, par suite,
^'wi^j^) désignant un polynôme harmonique, homogène et de degré m en x ely.
Cette forme de développement à l'extérieur d'un cercle est d'ailleurs caractéristique pour une fonction régulière à Finlini, car on remonte immédiatement du développement (c)) au développement (8).
DÊVELOPPEUENIS EN SÉRIES. 6l
9. Posons-nous maintenant le problème de Dirielilet pour la partie du plan extérieur à un contour donné C. L'énoncé sera alors le suivant :
Trouver une fonction harmonique, continue et uniforme dans r espace extérieur à C, régulière à t' infini, et prenant sur C une succession donnée de valeurs.
Ce problème se ramène immédiatement au cas du [)roblème relatif à l'intérieur d'une aire. Transformons, en effet, la figure par rajons vecteurs réciproques, en prenant pour centre de transformation un point intérieur à C. Le contour C se transformera en un contour C, et la fonction que nous cherchons W^x^y) deviendra une fonction W(X, Y), uniforme et continue pour lous les points intérieurs à G et prenant sur C la succession donnée de valeurs. Le problème extérieur est donc ramené au problème intérieur, et Ton voit bien que c'est l'hypothèse faite, que la fonction V(x,^) est régulière à l'infini, qui nous permet d'affirmer que la fonction \V(X. Y) n'a pas le point X o, Y o comme point singulier.
10. Dans le cas de l'espace, nous n'avons pas parlé au Tome 1 du problème extérieur. Il y a, à cet égard, une grande différence entre le cas du plan et celui de l'espace, et l'on se tromperait gravement en posant le problème de la même manière dans les deux cas.
Considérons encore la transformation par ra\ons vecteurs réciproques
On peut vérifier, avec Sir William Thomson (*). que, si la fonction \(x^y, z) est harmonique, la fonction
(lO)
sera encore une fonction harmonique, (^'e*»t ce que vérifie san«» difficulté un calcul direct.
C) Journat de Liouville, t. \I1 (eitraiit» tU Ij'Urr.s aiflr«:ftwV<» « M, Liouvilk;.
Il en résulte qu'une fonction V(j:,j^', 5) harmonique et continue dans le voisinage de Torigine conduit, au moyen de l'expression (10), à une fonction harmonique bien déterminée, quand le point (Xj y^ z) est suffisamment éloigné de l'origine, et qui s^annule à V infini.
Cette remarque montre immédiatement comment le problème extérieur doit être posé dans le cas de l'espace. Ce problème consiste à trouver une fonction harmonique continue à l'extérieur d'une surface, prenant sur cette surface des valeurs données et s'annulant à l'infini.
III. — Développement en série des fonctions analytiques dVine variable complexe. Théorème. de Cauchy. Fonctions élémentaires.
W, Les séries ordonnées suivant les puissances entières et croissantes d'une variable
(il) ao-f- «15 -i-. . .-4- a„-5'*-+-. . .
jouent dans la théorie des fonctions analytiques un rôle essentiel. Nous avons déjà fait leur étude (t. I, p. 199) quand le coefficient a et la variable z sont réels. Il y a simplement à remplacer le mot Dcilcur absolue par module pour avoir le théorème suivant entièrement analogue à celui qui a été démontré (t. I, p. 199).
Si pour une valeur Zq de v, on a, quel que soit /i,
M étant un nombre fixe, la série sera convergente pour toute valeur de z de module inférieur à \zq\.
En particulier, si la série converge pour une valeur -Gq, elle convergera pour toutes les valeurs de z de module moindre. Il en résulte que la courbe séparant les parties du plan où la série converge de celles où la série diverge ne peut être qu'une circonférence ayant son centre à l'origine. Ce cercle est ce qu'on appelle le cercle de convergence de la série.
12. Et d'abord il est essentiel de montrer que la série précédente est bien une fonclion analylique de la variable complexe 5.
DÉVELOPPEMENTS BN SÉRIES. 63
En effet, elle rentre dans les séries que nous venons d'étudier. Pour le voir, posons
la série (i i) devient
^ r''(a„cos/i6 — ^nsin/iB) -f- * ^ r^f^nCos/iO h- a/|Sin/iO).
Soil ( — L, 4- L) le domaine de convergence, commun aux doux séries
Le cercle de convergence de la série (i i) sera le cercle de rajon L. En effet, pour une valeur de r supérieur à L, Tune au moins des deux séries (i 2) est divergente. Or, pour 6 = o, la série (i i) se réduit à
Le rayon de son cercle de convergence ne peut donc dépasser L. Ceci posé, les propriétés de la fonction définie par la série (11) à Fintérieur du cercle de rayon L résultent immédiatement des propriétés établies au § 2. Cette fonction peut s'écrire
(^esl une fonction analvtique de :;, car puisque
àUn àVn OUn àv
ôx ôy tty Ox
Il résulte encore, des règles de dérivation établies (^ t2;, qu#f la série (1 1) a une dérivée qui sera représentée par la série
d'où l'on conclut encore Tcxistence des dérivées de tout ordre â l'intérieur du cercle de convergence.
13. Nous vcnonsdc voir qu'une série telle que (i i) représente, à rîntérieur de son cercle de convergence, une fonction analytique uniforme et continue. Nous allons maintenant établir la réciproque, qui constitue un théorème fondamental dû à Cauchv et qui s'énonce de la manière suivante :
Si une fonction analytique J\z) est uniforme et continue ii r intérieur d^un cercle ayant l^orif^ine pour centre, on peut, à V intérieur de ce cercle, la représenter par une série ordonnée suivant les puissances entières et croissantes de la variable z.
Soil
D'après le théorème établi pour les fonctions harmoniques, (m a
Or ridenlité
au dv
ôx ()}'
est ici satisfaite ; elle nous donne
2à \''"''dV -^ ''"' àx) 'Z {"'" Or -' ^"' Ty-J'
ou encore
Z (/'- Or ' ^"' dr )' 2à\-''"' dx ^ *'" ~ôx-)
ce (|ui exige qiio
Si d(mc nous formonsy*(^), il vient
puisque
\ /(-) — " -y- iv -i^ (a,„ ib,n)K "/« ' 'V,;, ) -V ol,„ 5"«
( «,« — a„i — ib,„ ),
"m - i^m ~ ''"' ( cos /?ï çp + i siii m ç ) — -8"'.
Le développement (i3) constitue le théorème de Caucliy. Si, au lieu d'avoir Torigine pour centre, le cercle avait son centre en «, la série procéderait suivant les puissances croissantes de z — a. On aurait ainsi le développement
/(-) = PoH- ?l(- -«)-+-... -^ ?/«(- — «)'" -4-...
convergent à l'intérieur d'un certain cercle ayant pour centre a. C'est la formule de Taylor, car, en différentiant m fois d'après la règle du § 12, et faisant 3 = a, on a
Faisons, à propos de ce développement, une remarque qui nous sera utile dans la suite. Soient (C) {fig* 4) 'c cercle de con-
vergence de la fonction f{z)^ z et z -h h deux points à Tintérieur de ce cercle. Considérons la différence
dans laquelle nous supposons :; fixe et h variable. Ce sera encore une fonction analytique de h qui sera certainement développable en une série convergente si le point z -^ h est à l'intérieur du cercle (y), ayant pour centre le point z et tangent intérieurement au cercle de convergence (C). On aura donc, pour tout point z -^ h intérieur au cercle (y),
hfn
Cette série est toujours convergente dans le cercle y cl nous verrons que, dans bien des cas, elle peut converger au delà. P. - II. S
1 i. Donnons quelques applications des généralités qui précèdent, et proposons-nous tout d'abord le problème suivant :
Trouver une série ordonnée suivant les puissances croissantes
de z
/( -3 ) = ao -h ai -G -»- . . . -»- a,;, 5"* -+- . . .
satisfaisant à la condition
La série considérée est convergente à l'intérieur d'un certain rercle (U), dans lequel nous supposons situés le poini z cl le point / ; nous prenons, en outre, le point / tel que
c'est-à-dire de manière que /{z -h () soil certainement développable suivant les puissances de /.
On devra avoir alors l'identité
\ m A • m 9 fii
d'où Ton conclut les égalités
et, en changeant m en m — i et dérivant,
On en déduit la relation récurrenle
et, par suite,
La série jouissant de la propriété demandée sera donc, si elle eiiste, de la forme
ni) /(-c)— I -f- a,;; i- -* ^-...-i- '
On vérifie immédiatement qu'elle est convergente dans tout le plan, c'est-à-dire que son rayon de convergence est infini et elle
est bien telle que
DÉTBLOPPEMENTS EN SÉRIES.
15. La série précédente, dans le cas où a et 5 sont réels, représente e^. Faisons, en particulier, a=:i, nous obtenons la série
que nous prenons comme définition de e^ quand z est une quantité complexe et il y a bien accord avec les résultats connus. On a, quels que soient z et /,
La fonction e^ est uniforme et continue dans tout le plan ; sa dérivée est la fonction e^ elle-même.
16. De même qu'on définit e^ par une série, pareillement, lorsque z sera imaginaire, cos5 et sins seront définis par les séries
COSw = I —
SXÏiZ = ;r . .. , -
Le rayon de convergence de ces séries est infini. La dérivée de sin5 est cos5, et la dérivée de coss est — sin5.
Les trois transcendantes e^, cos:;, sin.3 ne forment pas trois transcendantes distinctes. C'est un résultat bien connu dû à Euler, et que je ne ferai que rappeler. En remplaçant z par zi dans e*, on obtient immédiatement les relations suivantes
d^où Ton conclut
tfS' = cosz -T- i sin c, ^-zi — cosz — i sin 5,
cosz = y
ainz =
gZt g-Zl
Il est facile ensuite de vérifier les formules fondamentales
cos(^ -h t) = cosz cost — sine sin/, sin(z -^ t) = sin-5 cos/ -H sinf C0S3, 1 = cos*^ -h sin*^.
17. Une conséquence des formules d'Euler sur laquelle j'insisterai un peu plus est relative à la périodicité Ae f{z).
D'une manière générale, on dit qu'une fonction uniforme d'uni variable complexe z est périodique , s'il existe une constante telle qu'on ait
et cela quelle que soit la valeur attribuée à la variable z. La fonction e^ admet la période 7.Tzi\ on a, en cflet,
L'addition d'une demi-période iii change e* en — e^
Terminons en rappelant que, si a et 6 sont réels, on a
ga-^ih = e«(cos6 -4- t sin6),
et que, par suite, le module de e**"*"'* est e**, et que son argumeni est & à un multiple près de 2tz.
18. La notion de l'extension analytique d'une fonction représentée par une série entière
/(z) = Xq -h ai c -H- . . . -T- a^ -s'» -+- . . . repose sur la môme idée que pour les fonctions harmoniques
Soit (y?^. 5) (C) le cercle de convergence de la série précé-
dente. Si Ton considère le point (^o?^o)î on pourra, dans le voi-
DÉyELOPPEME.NTS EN SÉRIES. 69
sinage de ce poinl, développer la fonction suivant les puissances de (z — a), (a = Xo-^- iyo)} et nous avons vu que ce développexxient était certainement possible, du moment que le point z était 2k l'intérieur du cercle (y) décrit du point (a) comme centre, tangent intérieurement au cercle de convergence (C). Mais il se peut cque le cercle de convergence (F) de la nouvelle série
soit plus grand que (y) et sorte du cercle (C). On aura réalisé 2ilors Textension analeptique de la fonction le long de Tare a^. Cest ce qui arrive d'ailleurs pour la plupart des fonctions. Considérons, par exemple, la série
Elle est convergente pour | ^ | <^ i et divergente pour 1 5 | > i ; donc son cercle de convergence est le cercle de rayon un décrit de l'origine comme centre. A l'intérieur de ce cercle, la série
représente la fonction ->
Effectuons le développement de cette fonction, autour d'un point a intérieur au cercle C, par la formule de Taylor ; on obtient
I I r z — a Iz — a\' iz — a\*^ 1
= IH h ( 1 -+-.. .H- ( ) -4-... L
La série entre crochets est convergente pour
|5 — a|<|i — a|, c'est-à-dire lorsque z sera à l'intérieur d'un cercle (F) décrit du
point a comme centre avec an rajon aBégal à 1 1 — a\.\jt points
yo CHAPITRE II.
pourra donc sortir du cercle (C) {/ig' 6), et, en conlinuant de proche en proche, on effectuera successivement le prolongement
analytique de la fonction sur tout le plan.
Voici maintenant un exemple simple d'une fonction analytique ne pouvant être étendue au delà de la circonférence de convergence. Il est dû à M. Weierstrass.
Considérons la série
h désignant une constante quelconque et c un entier positif.
Cette série est convergente à l'intérieur du cercle de rayon un et sur le cercle lui-même, elle diverge, au contraire, à l'extérieur de ce cercle, puisque le rapport d'un terme au précédent étant
augmente indéfiniment si | ;; | >> i .
Le cercle de rayon un est donc le cercle de convergence de la série précédente. M. Weierstrass a montre que la fonction ne pouvait pas être étendue analytiquement au delà de ce cercle. Voici une démonstration très simple de ce théorème que l'on trouve dans la Thèse de M. Hadamard. Nous allons montrer que, si l'extension analytique de la fonction est possible le long d'un arc déterminé a^ de la circonférence de rayon un^ elle est possible pour tout arc de la circonférence. En effet, remplaçons, dans la série, z par
ze
ch
k et h étant des entiers positifs ; la série ne changera pas à partir du rang h. Or on peut prendre k et h assez grand pour que
~j^ soit aussi voisin que l'on voudra de tout nombre positif; par
suite, au point z de la circonférence correspond, par cette transformation, un point aussi voisin que l'on veut de tout point de la circonférence. Si donc la fonction peut s'étendre le long d^un arc, si petit qu'il soit, de la circonférence, Vextension sera possible pour la circonférence tout entière. Mais alors la fonction
serait certainement uniforme et continue à l'intérieur d'un cercle de rajon plus grand que un\ la série devrait converger à Texterieur de son cercle de convergence, ce qui est absurde.
Dans l'exemple précédent, la série dont Textension est impossible est convergente sur sa circonférence de convergence si 6 a un module inférieur à un, mais la série des dérivées des termes successifs ne converge pïis. M. Freedholm a indiqué récemment un exemple dans lequel la série et toutes ses dérivées sont convergentes sur le cercle de convergence, et où Textension est d'ailleurs impossible. Cet exemple est fourni par la série très simple
OÙ a est une quantité positive inférieure à l'unité. Le cercle de convergence de celte série est le cercle de rayon un; la série et toutes ses dérivées convergent sur ce cercle. Je me bornerai à affirmer que cette fonction ne peut s'étendre au delà du cercle de rayon un, renvoyant, pour la démonstration, à la Note de M. Freedholm (').
19. Nous avons fait connaître (t. I, p. 21 j) un théorème de M. Hadamard relatif au domaine de convergence d'une série entière. Il n'y a qu'à remplacer les valeurs absolues par les modules pour avoir une proposition applicable aux séries que nous étudions maintenant. Soit donc une série entière
(i5) ao-H ai 5 -+-. . .-r- a/i-s^-H. . . .
Nous envisageons la suite à termes positifs
Si cette suite contient des termes augmentant indéfiniment, la série donnée n'est jamais convergente, sauf pour z := o. Car il existera toujours des valeurs de m en nombre infini pour chacune
( ' ) Comptes rendus des séances de l* Académie des Sciences, 2} mart i^».
(lesquelles on aura
el le terme correspondant a'^z''^ ayant un module supérieur à ///?, la série ne pourra être convergente. Tous les termes de la suite précédente restant compris entre deux quantités fixes, nous pouvons définir un nombre a correspondant à cette suite (t. I, p. 212), et, par conséquent, le rayon du cercle de convergence
sera égal à - •
Un cas particulier intéressant est celui où a = o. Puisque, d'après la définition même de a, on peut, étant donné e aussi petit qu'on voudra, déterminer m assez grand pour que touslea termes de la suite à partir du rang m soient inférieurs à a -h e, il
en résulte que V i ^/n | ^ura zéro pour limite, et nous pouvons énoncer le théorème suivant : La condition nécessaire et suffisante pour que le rayon du cercle de convergence de la série (1 5) soit infini est
Hm )/\ a,n \ = o.
20. L'étude de la série (i 5), sur son cercle de convergence, présente de grandes difficultés. On trouvera, sur ce sujet, d'intéressantes propositions générales dans la Thèse de M. Hadamard (*), qui s'est efforcé de trouver les points singuliers de la fonction sur son cercle de convergence. Dans son Mémoire sur la théorie générale des séries (2), M. O. Bonnet a utilisé autrefois les rapports entre la théorie des séries entières et celle des séries trigonométriques ; citons encore le beau Mémoire de M. Darboux (') sur l'approximation des fonctions de grands nombres où la nature des points singuliers supposés connus sur le cercle de convergence est utilisée pour la recherche d'une valeur approchée des coefficients.
( ' ) Essai sur l'étude des fonctions données par leur développement de Taylor {Journal de Mathématiques, 189a).
(») Mémoire sur la théorie générale des séries {Mémoires des Savants étrangers publiés par V Académie de Belgique, t. XXIII).
(») Mémoire sur l'approximation des fonctions de très grands nombres {Journal de Liouville, 1877).
DÉTELOPPEMBNTS EN SÉRIES. 73
Nous nous bornerons à renvoyer à ces Mémoires, et nous nous contenterons de montrer comment le théorème démontré (t. I, p. 202), dans le cas où les coefficients et la variable sont réels, • peut être étendu au cas actuel.
Soit ^0 un point du cercle de convergence, et supposons que la série (i5) converge pour z -— Zo ; on peut déduire immédiatement, comme l'a fait Abel, du théorème cité, que la limite des valeurs que prend la série quand z tend vers z^^ en suivant le rayon allant de Uorigine au point z^^ est égale à la valeur même de la série pour z ^z^. Mais, comme nous Talions voir, on peut aller un peu plus loin en montrant que le théorème subsiste, quand z (restant bien entendu à l'intérieur du cercle) tend vers z^ suivant une courbe qui n'est pas tangente en Zq au cercle de convergence. Il n'y a d'ailleurs presque rien à changer au raisonnement d'Abel. Nous supposerons, comme il est évidemment permis, grâce à une rotation préalable d'axes, que Zq est réel et positif. La série
étant convergente pour c = ^o, on peut prendre n assez grand pour que les sommes suivantes
Sp — Un**^ -1-. . . -t- cifi-i-p^Q
aient, quel que soit/?, leur module compris entre — £ et £ étant une quantité donnée à l'avance aussi petite que Ton voudra. Ceci posé, on peut écrire
rtn -5" -+- . . . H- an-^pZ^-*-P
On aura, par conséquent, en posant
Zo
I — — = r(cosa -m' sina),
Zq
et remarquant que p est inférieur à utif
or, quand z tend vers z^^ r tend vers zéro et p tend vers runité comme on a
p'= (i — /• cosa)'-H r*sin*a = i — ar cosa -+- /*, il en résulte
1 — p 2 cosa — /•
Or l'angle a représente Tangle fait par la droite {zZq) ave rayon allant en Zq\ donc, d'après Thypothèse faite, cosa ne
pas vers zéro, par suite reste fini. La démonstration s'ac
maintenant bien aisément. 11 résulte de l'inégalité ci-dessus qi reste de la série, correspondant au rang /?, sera, quel que so (le module moindre que M s, M étant un nombre fixe. D'autre ] la somme des n premiers termes, élanl un polynôme, est une f tion continue de ;;; si donc z est suffisamment voisin de z différence des valeurs de ce polynôme en z et en Zq aura un dule moindre que s. Les deux séries pour z et ^o différeront ( d'une quantité dont le module n'atteindra pas
ce qui revient à dire, puisque e est une quantité donnée à l'av aussi petite qu'on voudra, que la limite des valeurs de la s< quand z tend vers Zq^ est égale à la valeur même de la série |
z '=■ Zq,
21. Examinons, comme exemple de l'étude d'une série sui cercle de convergence, le cas particulier assez étendu suivant On suppose que, dans la série entière
les coefficients ao, a,, ..., a„, ... soient tous réels, positif:
aillent en décroissant, que la limite de -^^ soit l'unité, < limite de a;,, zéro.
Remarquons de suite que, si la série était à termes alternativeirncDl positifs et négatifs et que, si les coefficients satisfaisaient en 'valeur absolue aux conditions précédentes, il suffirait de changer -3 en — z pour obtenir une série à termes positifs de la nature do celles que nous avons en vue.
Le rayon de convergence de la série précédente est évidemment
Vunitéy puisque la limite de -^^•5 est z.
Cela étant, nous allons démontrer que : La série entière considérée est convergente pour tous les points du cercle de convergence, sauf peut-être pour le point 5 = 1.
Pour un point quelconque du cercle de convegencc (Rmi),
on a
z = cos6 -h £ sinO.
La série que nous avons à étudier est donc de la forme, en séparant la partie réelle et la partie imaginaire,
-i- i[ai sin6 -h aj sin2 6 -I- . . . -I- «rt sin /i6 -}-. . . |.
Or nous avons vu (t. I, p. 281) que les deux séries A et B étaient convergentes pour toutes les valeurs de 0, sauf peut-être pour H = 2A*tc; notre proposition est donc démontrée.
22. Deux séries importantes rentrent dans le type précédent. Considérons d'abord la série
Lorsque :; est réel et compris entre — i et -+- 1, elle représente log(i H- -5). Ses coefficients satisfont aux conditions précédentes : le rayon de son cercle de convergence est un et elle est convergente pour tous les points de ce cercle, sauf peut-être pour le point 5 = — I qu'il y a lieu de considérer en particulier. En ce point on a la série harmonique qui est divergente.
!23. Considérons en second lieu la série
m ml fil — i). /n(m — i)...(/n--n-f-i) ..
(16) IH Z H i 'Z^-^,,.-\ ^ ^^ -S«-f-...,
dans laquelle nous supposerons m réel. Cette série représe (1-I--3)'" lorsque z est réel et compris entre — i et -j- 1 : 2 cercle de convergence a pour rayon Tunité.
Cherchons dans quel cas la série des coefficients
m(/n — i) m(m — i).,Jni — n-hi)
satisfait aux conditions précédentes.
Nous avons déjà étudié cette série (t. I, p. 2o3).
Si m -f- 1 <^ o, les coefficients iront certainement en croissan partir d'une certaine limite. On ne peut donc pas appliquer è série (16) les conclusions qui précédent. Elle sera divergente tout le cercle de convergence.
Si au contraire on a m 4- i >> o, la série des coefficients convergente, et ses termes à partir d'une valeur suffisamm< grande de m seront alternativement positifs et négatifs. La se proposée (16) est donc convergente sur tout le cercle de conv gcnce, sauf peut-être pour le point z ^ — i. En ce point mê elle sera convergente si m est positif.
On trouvera des exemples plus étendus dans le Mémoire M. Weierstrass [ Ucber die Théorie der analytischen Fac tàten {Journal de C relie, Band 51)].
