I. — Procédé alterné de* M. Schwarz
1. Comme nous Favons dit (Chap. I, § 30), oq peut, dans des cas étendus, passer, pour le problème de Dirichlet, d'un contour convexe à un contour plus compliqué. C'est ce qu'a montré M. Schwarz en faisant usage d'une méthode que nous allons exposer (*).
Un lemme préliminaire nous sera nécessaire. Étant donné un
contour aC6C' et une courbe adb rencontrant le contour en a et b sans lui être tangent, nous avons considéré {/ig- 7) la fonc-
lion u harmonique prenant sur 6rC6 la valeur zéro et sur aCJ b la valeur un. Nous avons vu que cette fonction tend vers une quantité comprise entre zéro et un quand {x^y) tend vers a ou 6 sur la
courbe adb. D'autre part (Chap. I, §37), pour tout point de l'intérieur de l'aire, u n'atteint pas la valeur un ; il en résulte que la
(•) ScnwARZ, Monatsberichte, 1870, et Œuvres complètes, t. II, p. 107. Voir aussi une Lettre du m6mc auteur à M. Klein {Œuvres. complètes, t. II, p. 3o3).
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fonction sur Tare adb est inférieure à nn nombre q plus petit que un. Nous avons donc
u<^q (sur I arc ado),
(] étant plus petit que Tunité.
De cette remarque, on déduit une conséquence qui va jouer, dans la suite, un rôle fondamental. Désignons par v une fonction harmonique, prenant sur ^C6 la valeur zéro et sur aCb des valeurs dont le module (valeur absolue) ne dépasse pas g. La fonc-t (ion
sera nulle sur aQb et positive sur aiy b. Donc, pour tout point
de rijîlérieur de Taire,
gu -r- r : - o ;
mais nous pouvons écrire cette inégalité sous la forme et, puisque sur adb^ it <^7, il faut nécessairement que
i' -f- f^q > o ( sur adb).
De même, on a '
à rinlérieur de Taire, et Ton en conclut
i' — ffq < o (sur adb).
On a donc, sur Tare adb,
c^est Tinégalilé fondamentale que nous voulions obtenir.
2. Nous abordons maintenant Tétude du procédé alterné de M. Schwarz, et, pour plus de netteté dans Texposition, plaçonsnous dans les circonstances les plus simples.
Nous considérons deux contours limitant deux aires qui ont une partie commune. Appelons a la portion du premier contour extérieure au second, et a la portion intérieure à ce second contour. De même b et ^ désigneront respectivement les portions du
second contour extérieure et intérieure au premier. On suppose que l'on sache résoudre le problème de Dirichlet pour le contour (a a) et pour le contour (bp)] nous allons montrer qu'on pourra résoudre le problème pour le contour {ah).
Nous supposons donnée une succession continue de valeurs sur
Fig. 8.
{ab)\ on désignera par ^ le maximum de leur valeur absolue. D'autre part, à Tare ^ considéré par rapport au contour («a), correspond un nombre plus petit que un, d'après le paragraphe précédent, et de même pour l'arc a considéré par rapport au contour {b^) correspond un autre nombre plus petit que l'unité ; soit q le plus grand de ces deux nombres.
Formons une fonction harmonique //| définie dans le contour (aa), prenant sur a la succession donnée de valeurs et sur a une succession continue de valeurs uniquement assujettie à la condilion de prendre en m et p les mêmes valeurs que la première. Cette fonction aura certaines valeurs sur p. Nous formons alors une fonction k\ définie dans (6,3), prenant sur b la succession <lonnée de valeurs et sur ^ les mêmes valeurs que u^, La fonction i'i prend certaines valeurs sur a ; on formera une fonction //j, définie dans (^a), prenant sur a la succession donnée de valeurs et sur a les mêmes valeurs que Ti et l'on continue ainsi indéfiniment. On obtient, de cette manière, deux suites de fonctions
l*ns
définies respectivement dans (aa) et dans (6^). Les u prennent sur a les valeurs données et les v prennent aussi sur b les valeurs ilonnées ; u„ et i*„ prennent les mêmes valeurs sur p, tandis que '^n et i^n^i prennent les mêmes valeurs sur a : c'est ce que nous
8o CHAPITRE m.
indiquons, pour plus de facilité dans la suite des raisonnements, par les flèches placées à gauche des deux suites. Nous allons établir le théorème suivant :
Les fonctions u,i et i',i tendent chacune vers une limite quand n augmente indéfiniment» Ces limites représentent deux fonctions harmoniques qui coïncident dans Vaire comprise entre
