et fi

Remarquons que

«3 — 1/2 = t'j— i'i (sur l'arc a). Or, V2 — ^'i est nul sur 6, et Ton a

t'j — vx = Mj — ux (sur Tare p).

Donc, sur Tare a, | Tj — v^ \ est moindre que le maximum de I '/-i — ''1 I sur p multiplié par q. Si, d'autre part, on remarque que U2 — //| s'annule sur «r, on voit que le maximum de 1 1/2 — «i | sur p sera moindre que le maximum de | 2/2 — '^1 I ^ur a, multiplié par q ; on aura donc, d'après ces inégalités successives,

I Wj — "1 1 < <7*.( maximum de | Wj— ii\ \) (sur l'arc a).

Le raisonnement est général ; on a, de même,

I u,t— u„-\ I < <7*. (maximum de | iin- \ — t'n-i I) (sur l'arc a).

Si donc l'on pose : maximum de \u2 — '/| \ = ff sur Tare a, on

aura

I Un— Un-i I < q^^n-Dg (sur l'arc a).

Or

Il en résulte que //« tend vers une limite déterminée en tous les points de l'arc a; de plus, pour tous ces points, Un tend uniformément vers sa limite.

La série

formée avec des fonctions harmoniques, étant uniformément convergente sur le contour (^r, a), est donc convergente à l'intéric^ur de ce contour, d'après le théorème de M. llarnack (Chap. Il, § 6) et

DE LA MÉTHODE ALTERNÉE. 8l

représente une fonction harmonique que nous désignerons par n, La fonction u prend sur n la succession donnée des valeurs. Des raisonnements tout semblables montrent que r„ a pour limite une fonction harmonique c, définie pour le contour (6^), et prenant sur b les valeurs données. Or, sur p, Un = v„ et sur a, u„ = i^„-\ • Par conséquent, sur Tare a et sur l'arc p, on a

Ces deux fonctions harmoniques, prenant la même succession continue de valeurs sur les arcs a et p, coïncident nécessairement dans l'aire limitée par ces deux courbes. Une conséquence immédiate en découle ; la fonction v est le prolongement analytique de la fonction u au delà de l'arc a. L'ensemble des deux fonctions u et i' sert donc à définir une même fonction harmonique à l'intérieur de l'aire limitée par a et b ; k l'intérieur de la courbe («a), on se servira de u pour avoir la valeur de cette fonction, et l'on se servira de v pour avoir sa valeur à Tintérieur de la courbe (b^). L'unique fonction ainsi définie prend sur a et 6 la succession donnée de valeurs, et le problème de Dirichlet est, par suite, résolu pour l^aire limitée par ces deux courbes,

3. Nous nous sommes placé, dans l'exposé précédent, dans des circonstances particulièrement simples. Les deux courbes considérées avaient seulement deux points communs m eip. D'autres cas pourraient se présenter, un peu plus compliqués, mais où la méthode s'appliquerait pour ainsi dire sans modification. Ainsi, par exemple {/ig' 9), dans le cas où les deux courbes auraient

nv

quatre points communs m, ai,/?, 7, si l'on sait résoudre le problème de Dirichlet pour chacune des deux courbes, on pourra le résoudre pour la courbe extérieure à chacune des deux aires considérées. Les arcs appelés, tout à l'heure, a et p seront ici formés P. - II. 6

chacun de deux arcs distincts, ce qui n'entraîne aucune différence dans la suite des raisonnements.

Indiquons encore un cas un peu différent où Ton pourrait employer le procédé alterné. Je suppose que Ton sache résoudre le problème de Dirichlet pour toute aire limitée par un seul contour ; nous voulons montrer que le procédé alterné permet de le résoudre pour une aire limitée par un nombre quelconque de contours. Il suffira de considérer une aire limitée par deux contours C et G (y?^. lo).

Nous traçons deux courbes mn, pq ne se coupant pas et reliant.

Tune et Tautre, un point de C à un point de C. Si Ton considère 1,-1 courbe mn comme une courbe ayant deux bords, on peut dire que les courbes C, C et mn limitent une aire A, et, par hypoihèse, on sait résoudre le problème de Dirichlet pour une telle aire. De la même manière, la courbe /?y avec les courbes G et C^ limitera aussi une aire B qui n'a qu'un contour. Ceci posé, donnons-nous sur les deux bords de mn une succession continue, d'ailleurs arbitraire, de valeurs ; nous supposons seulement que ces valeurs, en m cl n, coïncident avec les valeurs données sur G rt C. On résoudra le problème de Dirichlet, pour Taire A, en ])renant ces valeurs sur mn et les valeurs données sur C et G' ; on obtiendra ainsi une fonction //« prenant certaines valeurs sur pq. Considérant alors Taire B, nous résolvons, pour cette aire, le problème de Dirichlet, en prenant sur C et C'ies valeurs données, et sur les deux bords de pq les valeurs de //| ; on obtient ainsi la fonction r|. On continue ainsi indéHniment, en considérant alternativement les aires A et B. Les fonctions ti„ et v„ ont respectivement deux limites // et r, qui prennent les mêmes valeurs le long de mn et le long de pq. Les deux fonctions u et v coïncident donc pour tous les points de Taire limitée par C et G'. Les valeurs de //, de part et d'autre de mn, pourraient n'être

pas le prolongement anal)^lique les unes des autres, et, pour la fonction r, la coupure pourrait être pq. Mais, puisque ii = v en tous les points de Taire, il s^ensuit que ni mn^ ni pq ne sont des coupures et que la fonction représentée par // ou par r résout le |>roblème de Dirichlet pour Taire limitée par C et G'.

Quant à la démonstration des résultats précédents, ils résul tent cl(* ce que le lemme du § 1 est ici applicable. Si Ton considère une fonction définie dans Taire A, prenant sur C et C la valeur zéro «"t sur les deux bords de mn la valeur un, on aura évidemment, on tous les points de pq,

(j étant inférieur à Tunité, et c'est celte remarque qui a joué le rôle essentiel dans Texposition de la méthode alternée.

i. Faisons une application importante du procédé alterné. Mous avons démontré plus haut la possibilité de résoudre le problème de Dirichlet pour tout polygone convexe, a Texclusion seulement du quadrilatère et du triangle. Il est clair que le procédé alterné nous permet de considérer ces deux cas. Soit, en effet, le triangle abc {fig- ii). Nous pouvons tracer le pcnlagone ca^yS

Fig. II.

rt le pentagone ab^^'y!. Pour ces deux pentagones, on peut résoudre le problème, et par suite le procédé alterné nous conduira, en prenant ces deux polygones, au triangle abc.

Montrons maintenant que le problème pourra être résolu pour tout polygone, qu'il soit ou non convexe. Il suffira de prendre le quadrilatère concave abcd {Jig- 12); en prolongeant ad et de nous avons les deux triangles aba' et bcd' , et, par suite, nous pouvons passer, à Taide de ces deux triangles, au quadrilatère abcd.

Il csl inulilc d'insister pour montrer que, dans un polygone avant un certain nombre n d'angles rentrants, on peut résoudre le pro-

blème si l'on suppose qu'il ait été résolu pour un polygone ayani seulement n — i angles rentrants.

En définitive, nous savons maintenant résoudre le problème de Dirichlet/?owr une aire limitée par une ou plusieurs lignes polygonales fermées absolument quelconques. Pour le cas des aires limitées par plus d'une ligne polygonale, on emploiera des lignes droites comme coupures //*/*, pq du paragraphe précédent.