II. — Application du procédé alterné à d'autres équations

que l'équation de Laplace.

5. L'emploi du procédé alterné n'est pas limité à l'équation de Laplace; j'ai montré qu'il pouvait être appliqué à toutes les équations linéaires à caractéristiques imaginaires et aussi à certaines équations non linéaires (*). Nous nous bornerons pour le moment a l'équation dont nous avons déjà parlé (Chap. I, § 25)

Nous avons vu qu'il ne pouvait y avoir plus d'une intégrale de cette équation prenant des valeurs données sur un contour fermé. De plus, d'après un théorème général énoncé, les intégrales de l'équation sont analytiques.

Ceci rappelé, supposons que l'on sache résoudre le problème de la détermination de l'intégrale par ses valeurs sur le contour

( ' ) E. Picard, Acta mathematica, t. XII, et Journal de l'École Polytechnique, 1890.

(<7a) i^fig- 8) et sur le contour (6(3). Nous voulons montrer qu'on pourra le résoudre pour le contour formé par les arcs a et 6.

Remarquons d'abord qu'une intégrale de l'équation précédente prenant des valeurs positives ou nulles sur un contour fermé ne peut prendre des valeurs négatives à l'intérieur. Nous avons vu en effet (Chap. I, § 2o) qu'une équation de la forme précédente ne pouvait avoir d'intégrale possédant un maximum positif; il ne pourra donc y avoir d'intégrale avec un minimum négatif; or c'est précisément ce qui arriverait si une intégrale positive ou nulle sur un contour devenait négative à l'intérieur. Ajoutons que, si cette intégrale n'est pas nulle sur tout le contour, elle ne pourra pas s'annuler à l'intérieur, car si elle s'annulait en un point (-Co>^o)? on aurait le développement

el Un(,oc — Xoî y — ^0) serait toujours positif dans le voisinage de (j^otj^o)) ce qui est impossible, puisque le résultat de la substitution de // dans l'équation donne

Désignons par u une telle intégrale prenant des valeurs positives ou nulles sur le contour C, et appelons Wq la fonction harmonique prenant sur C les mêmes valeurs. Des deux équations

Ai/o= o,

Am — k*-u = o,

on conclut

A(tt — Wo) = A'w.

Or considérons une fonction v satisfaisant à l'équation

Ai>=/?(r, 7),

p{x^y) étant une fonction qui n'est jamais négative ni nulle à l'intérieur d'un contour G. Si la fonction v s'annule sur ce contour, montrons qu'elle sera négative à l'intérieur de Taire limitée par ce contour (toutes les fonctions considérées sont, bien entendu , continues et même analytiques à l'intérieur). On pourrait tirer immédiatement ce résultat de l'expression de v par une intégrale double, mais comme nous n'avons pas fait jusqu'ici l'étude de la

fonction de Green qui entrerait dans cette expression, nous allons suivre une autre voie. Si v devenait positif, il faudrait nécessairement que pour une certaine valeur de x et y^ on ait un maximum de la fonction; on peut toujours supposer que ce maximum sera atteint pour x = o, ^^ = o. En développant i' par la formule

on aura

Comme, d^ailleurs, a et y sont nécessairement de même signe, on a a>>o, Y>^? c^ ^"* implique contradiction, puisque jc = o, y =^ o correspondent à un maximum.

Nous déduisons de là que pour tous les points de Pintérieur dr aire

6. Ce point établi, le lemme démontré au § 1 pour Téqualion de Laplacc subsiste pour Téquation

Ox* Oy^

Soit u la solution prenant la valeur zéro sur Tare aCb {/ig'' 7) et la valeur un sur aC'ù, on aura sur Tare adb

// étant plus polit que Tunité; on a, en effet, u <; Wo, w© désignant la fonction harmonique prenant les mémos valeurs que u sur le contour, et, puisque Uo<.q^ Tinégalité est manifeste. Les conséquences du lemme subsistentévidemmcnt, et, puisque le procédé alterné repose uniquement sur ce lemme, nous pourrions maintenant répéter ce qui a été dit plus haut: les fonctions w« et i',*» obtenues en intégrant alternativement Téquation proposée pour le contour (aa) et le contour (fr^), auront des limites nous donnant la solution du problème pour le contour (ab).