I. — Propriétés fondamentales du potentiel logarithmique

1. Avant d'exposer la méthode de M. PoJncaré, nous devons faire connaître les propriétés fondamentales de la fonction connue sous le nom àt potentiel logarithmique.

Le potentiel logarithmique est, pour le cas du plan, Tanaloguc du potentiel ordinaire que nous avons étudié au Tome I pour le cas de l'espace. Dans l'espace, la loi de l'attraction était la loi de la raison inverse du carré de la distance. Dans le plan, on suppose que les points s'attirent en raison inverse de la distance : les composantes de l'attraction exercée par un point A(6r, b) de masse m sur un point M(j7, r) de masse un, seront alors

r>ù r2=(x — a)2-T- {y — by. En posant

V =r m loff-, r

on aura

Ox ày

«t V sera dit le potentiel logarithmique.

Si l'on a des masses remplissant d'une manière continue une certaine aire, avec une densité p fonction continue de (a, fr),

on a

les intégrales étant étendues aux masses agissantes. Dans tout ce qui suit, p sera une quantité essentiellement positive, comme nous Tavons d'ailleurs supposé dans la théorie de Pattraetion pour le cas de Tespace. Le potentiel Vsera défini par l'intégrale double*

V — / / p lojî - da db,

2. L'étude de cette fonction V est entièrement semblable à l'étude de la fonction désignée par la même lettre, que nous avons étudiée au Tome I (p. i63 et suiv.). Nous ne croyons pas utile d'insister sur les démonstrations, et il nous suffira d'énoncer les résultats.

Le potentiel logarithmique est une fonction continue de x ci y dans tout le plan, ainsi que ses dérivées partielles du premier ordre, et l'on a pour tout point (j^, y)

o.r ôy

L'étude des dérivées secondes se fait (voir loc* cii.) en supposant que p ait des dérivées partielles du premier ordre pour tous les points intérieurs à la masse.

Des raisonnements analogues montrent encore que les dérivées secondes sont aussi continues à l'intérieur et ^ l'extérieur des masses agissantes, mais elles sont discontinues pour la courbe de séparation.

Pour tout point extérieur aux masses, la fonction V est harmonique; pour tout point (x^y) intérieur, on a, au contraire,

p désignant la densité au point (x, y).

Ajoutons que la fonction V ne s'annule pas à l'infini et qu'elle peut avoir un signe quelconque; ces deux circonstances sont fort importantes et, dans les applications, elles rendent souvent plus

difficiles les questions concernant le cas de deux dimensions. En effet, pour l'espace, V est toujours positif et s'annule à l'infini.

3. Nous venons de considérer le cas où la distribution des masses est superficielle; nous aurons à considérer tout à l'heure des masses dont la distribution est linéaire, de telle sorte qu'on a alors

l'intégrale étant étendue à la courbe sur laquelle est étalée la couche attirante de densité linéaire p. Dans ce cas V est encore une fonction continue dans tout le plan, mais les dérivées du premier ordre éprouvent une discontinuité en traversant les courbes attirantes. C'est ce que nous avons rencontré pour les surfaces attirantes (t. I, p. 177); les démonstrations sont entièrement analogues dans les deux cas.

4. Développons davantage deux propriétés du potentiel logarithmique qui vont jouer un rôle essentiel dans la méthode de M. Poincaré.

La première est relative à la substitution aux points attirants à l'intérieur d'un cercle d'une couche linéaire placée sur sa circonférence.

Soient un cercle de centre O et de rayon R, A un point extérieur et P un point intérieur.

La quantité log-rp' dans laquelle nous considérons le point A comme fixe et P comme variable, est une fonction des coordonnées de P, harmonique dans tout le cercle. En tout point M de la circonférence, elle prend la valeur log-r-w* On aura donc

. « Ti « R«-OP*

Ai' J AM 2^R Mp

d'après la formule de Poisson qui résout le problème de Dirichlet pour le cas du cercle. Nous savons d'autre part, d'après la même formule, que