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J 2irR.MP

go CHAPITRE IV.

Des formules (i) et (2) on conclut le fait suivant :

Si Ton a sur la circonférence une couche attirante dont la der^ site, en chaque point M, est la quantité positive

Rî— OP arH.MP^

la niasse totale de cette couche sera égale à Tunité [d'après la formule (li)], et le potentiel de cette couche, sur un point extérieur A) sera le même que si toute la masse était concentrée en P. Cherchons maintenant ce que devient le potentiel de la couche quand le point A est intérieur au cercle. Le potentiel est toujours donné parla même intégrale, mais Tégalité (i) n^a plus lieu, quand A est intérieur; elle a encore lieu quand A est sur la circonférence, à cause de la continuité du potentiel. Or la différence

"'«xt-A^Âii'^.'^

est une fonction harmonique des coordonnées de A; elle est continue à rinlérieur de la circonférence sauf quand A est en P, et dans ce cas elle est égale à -f-x. Étant nulle sur la circonférence, elle sera donc positive pour tous les points de l'intérieur. On a donc, en tout point A intérieur,

r. I Rî op' . I

/ ^""^ \M — --^ ^^ - *^g AI

Nous avons donc démontré le ihéorème suivant : Quand une masse égale à T unité est placée en un point P de l'intérieur d'un cercle, si l'on répartit cette masse sur toute la circonférence de manière que la densité en un point quelconque M de celle-ci soit inversement proportionnelle au carré de MP, la couche circulaire ainsi obtenue aura même potentiel que la masse primitive en tout point extérieur et un potentiel plus petit en tout point intérieur.

Si, au lieu d'un seul point, on en a plusieurs ou bien une couche, soit linéaire, soit superficielle, on pourra substituer aux points attirants à l'intérieur du cercle une couche linéaire placée sur sa cîr-

confërence; celte couche aura même potenliel sur les points extérieurs et un potentiel plus petit pour les points intérieurs.

o. La seconde propriété que nous avons à développer est relative à la moyenne du potentiel logarithmique le long d^ine cir- <^oiif<érence.

Soit une circonférence C de centre O et de rayon R; si un point attirant P est extérieur à la circonférence, le potentiel

V = m log - 9

^' ^^signant la distance de {x, y) à P, sera harmonique et continue ^■^'^s C, et par conséquent, d'après un théorème établi au début ^ ^ l^élude des fonctions harmoniques, la moyenne de V sur h* ^^^^^le, c'est-à-dire

— 5 / ^ ^*' '""'^ égale à la valeur au centre, c'est-à-dire à m log^^p* On a donc * ^^.V = m ïogr^ (;)R ,\ = moyenne de V sur la circonférence ).

^^i le point attirant P est à l'intérieur de la circonférence, cette

*^ ^^inule n'est plus applicable. Pour obtenir la moyenne de V, nous

■ ^^^^céderons de la manière suivante : décrivons des points O et P des

circonférences F' et F de rayons y' et v» suffisamment petits pour

^|u'elles soient intérieures à C et extérieures l'une par rapport à

^^aulre, et désignons par r la distance du point attiré M(x,y)

^u point O (Jig» i3). On a, en posant V'-— m log — > et en appliquant la formule de Green à la surface limitée par les trois

(•oiirbes C, F et T\

les dérivées étant prises suivant les normales anx courbes gécr métriques.

Les deux intégrales qui forment le second membre de celtr éj;alité sont égales et de signe contraire, car, puisque la grande du rayon de la circonférence sur laquelle on intègre est indiffi rente, on passe de l'une à l'autre en permutant r et /•' et en cha géant le signe. On a donc

I /'oV I f

^ K J^. dn \\ y^

D'autre part, on a

«lonc

'"S îV^'^-r/^' ''*='*

OK V = m lop j- •

D'une manière générale, en désignant par m les masses exté* rieures et par \k les masses intérieures, on aura

r désignant la distance du point de masse m au centre de la circonférence. On a supposé les masses isolées; la formule s'éten< d'elle-même à des masses continues, linéaires ou superficielles, e elle conserve sa signification si les masses attirantes rencontren

la circonférence C : les sommes \] sont, bien entendu, à remplacer par des intégrales.

6. De celte valeur de la moyenne, on conclut que le potentiel logarithmique V provenant de masses positives n'est pas susceptible de minimum. Il suffit pour cela de démontrer que, quel que soit le point B considéré sur le plan, on ne peut avoir

V > Vb,

pour tout point d'un cercle, concentrique au point B, ayant un rayon R assez petit. On a, en effet, les notations étant les mêmes que précédemment,

«fautre part,

Vb = 2 '^ lojç 7. -^2 ^ '"^^ 7' d'où, en retranchant,

.mv-v„=:2i^('"Ss-'°s;:)=2]!*'''e(R)-

Or logp est négatif, les masses [x sont positives, donc

;)rc V < Vb,

et ceci est en contradiction avec l'hypothèse du minimum qui

centrai ne rail

OU V > Vb.

Plus généralement, on pourrait démontrer que, quel que soit le signe des masses superficielles attirantes, la fonction V n'est pas susceptible de minimum dans les régions du plan qui appartiennent à des masses positives et qu'elle n'est pas susceptible dr maximum dans les régions du plan qui appartiennent à des masses négatives.

7. Terminons par une dernière remarque qui trouvera aussi son application. Supposons tracé sur le plan \\n contour simple ou multiple pour lequel on sache résoudre le problème de Di-

riclilet, la fonction V étant d^aillcurs supposée provenir uniquement de masses positives. Désignons par (i> la fonction, harmonique à rintérieur du contour, et qui prend sur ce contour les mêmes valeurs que V. Comme, pour tout point intérieur B, on a «Tlw -- Wg, il en résulte que la fonction V — lo n'est pas susceptible de minimum; or elle est nulle sur le contour : donc elle est positive à l'intérieur.