II. — Méthode de M. Poincaré

8. Nous partons d'une aire quelconque S limitée par un ou plusieurs contours 5. Je dis tout d'abord que /'o/i peut toujours trouver des cercles C/ tout entiers intérieurs à S^ formant une suite indéfinie à indices entiers positifs

/•/ tels que tout point intérieur à S soit intérieur au moins à run de ces cercles.

Pour le faire voir, considénms dans S une région R dont tous les points soient à une distance de s supérieure à une quantité 0. Soil 0' une longueur plus petite que S: traçons une série de pa-

rallrlcs aux axes de coordonnées, avant entre elles la distance -77*

Nous formons ainsi une infinité de carrés dont la diagonale est 0'.

I\ous ne retiendrons parmi eux que ceux qui sont en totalité ou

vn partie intérieurs à R : soit n le nombre de ces carrés. Tout point

dt» U est alors intérieur à un de ces n carrés ou sur son contour.

Ceux mômes de ces carrés qui sont partiellement extérieurs à R

.sfml encore intérieurs à S, puisque leur plus grande dimension 0'

est inférieure à 0.

(*) M. l'uincan': a développé sa inélhodo dans son Mémoire de V American Journal 0/ Mathematics (t. i\) en considérant le cas de l'espace ât trois dimensions. Pour le principe de la méthode, il n'y a aucune différence entre le rus de l'espace et celui du plan: il n'en est pas lout à fait de même des démonstrations qui doivent être assez, notablement modifiées. Dans sa Thèse, soutenue récemment devant la Faculté des Sciences de Paris, M. Paraf a exposé, pour le plan, la méthode de M. Poincaré; nous avons tiré grand parti, pour notre rétinelion, de ce travail fait avec beaucoup de soin.

SOLUTION Di: PROBLÈME DE DIRICHLET. gS

Soient 0| , O2, . . . , 0« les centres de ces carrés : de chacun de ces

points comme centre, avec un rayon intermédiaire entre- et ->

«lécrivons une circonférence. Chaque carré est alors tout entier intérieur au cercle correspondant, lequel est toujours intérieur à S; chaque point de R est alors intérieur à l'un de ces n cercles. Imaginons alors une série de longueurs 0|, 02, ..., o^, ... décroissant et tendant vers zéro. Appelons Rq la région formée par Tensemble des points de S dont la distance à s est supérieure à û|, puis, d'une manière générale, appelons R/ Tensemble des points de S dont la distance à s est comprise entre 0/ et o/^i . Ces diverses régions ne seront d'ailleurs pas nécessairement connexes, mais cela n'est pas utile. Construisons dans Rq les cercles

<'omme plus haut, puis dans R| les cercles

et ainsi de suite indéfmiment. L'ensemble de tous ces cercles forme une suite

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qui remplit manifestement les conditions énoncées.

9. Après avoir construit dans S la famille des courbes (]/, traçons encore une courbe fermée L qui contienne dans son intérieur Taire S; nous pouvons supposer que ce soit une circonférence L d^un rayon suffîsamment grand. Désignons par T la partie du plan intérieure à L.

On se donne par hypothèse sur la courbe 5, qui limite S, unr succession continue L de valeurs.

^Admettons que Ton puisse trouver une fonction \\i Xy );, continue ainsi que ses dérivées partielles des trois premiers ordre> dans T, et se réduisant à U sur 5. C'est en partant de cette fonction \'^(j:, ^), prise en quelque sorte comme première approximation, que nous voulons arriver à la solution du problème de iJirichlet.

Supposons d'abord que A\^o ^oil constamment négatif dans '\ .

SI alors on pose

0 sera une fonchon positive dans T. Imaginons une masse répandue d^une manière continue sur T et dont la densité en chaque point soit justement la fonction p. Cette masse aura un potentiel Wo, et l'on aura dans toute la région T

AW'o = — 27rp — AVo, «lonr A(Wo — Vo) = o.

La différence Wo — Vq est donc une fonction harmonique; elle est

pour tous les points de T. En posant Wq — Vo=8, on aura sur

le contour s