Wo~li

et la fonction 6 sera harmonique.

Les masses qui donnent naissance au potentiel Wo sont toutes positives, et une partie d'entre elles est intérieure à S. Envisageons en particulier celles qui sont intérieures au cercle C/; nous avons appris à former sur le cercle une couche équivalente à ces masses. Ajant à répéter souvent cette opération, nous l'appellerons, pour abréger, le balayage du cercle G/. On peut dire alors (|ue le balayage du cercle C/ ne change pas le potentiel en un point quelconque extérieur à C/, mais le diminue en tout point intérieur. Cette opération n'introduit d'ailleurs jamais de masses négatives.

Balayons alors successivement tous les cercles, dans un ordre tel que chacun d'eux soit balayé un nombre infini de fois. 11 suffira pour cela de les balayer dans l'ordre

I» '■'•, Il «« -'i «1 «*, «3, .|, .•••

on ne tiendra aucun compte de ceux qui ne contiendront plus aucune masse quand viendra leur tour d'être balayé.

Appelons enfin W^ ce que devient le potentiel après la Ar*^*"»« opération ; nous allons comparer entre elles les valeurs des différentes fonctions W;t en un même point A de T et démontrer qu'en chacun de ces points Wa tend vers une valeur déterminé^.

10. Il est évident que, si A est extérieur au cercle balayé à la

^.ième opération, on aura

Dans le cas contraire, on aura

Wa<VV^-,.

Donc, dans tous les cas,

et remarquons que, pour tous les points à l'extérieur de S, on a

Ainsi Wa ne va jamais en croissant quand Tindice augmente. D'autre part, en vertu de la propriété du potentiel logarithmique dû à des masses positives, établie au § 7, Wa est, en chaque point, supérieur à la valeur de la fonction harmonique co, qui prend sur la circonférence T, ou sur toute autre circonférence comprenant S à son intérieur, les mêmes valeurs que Wo. Donc Wa tend vers une limite bien déterminée W en chaque point A (le T.

11. Nous allons démontrer maintenant que cette limite W, bien déterminée en chaque point A de S, tend vers

Gj

quand A tend vers le point a du contour (*). La mémo propriété

(§ 7) va encore nous servir. Nous allons considérer comme résolu

'e problème de Dirichlet dans le cas d'un contour formé de deux

circonférences concentriques et dans celui d'un contour formé

par une ellipse et la portion de droite qui unit les deux foyers,

^^onsidérée comme droite double (2).

(') La démoDStration dans le cas de l'espace est beaucoup plus simple que ^das le cas du plan et Ton n'a pas besoin d'employer les artiHccs auxquels ■^ous avons dû recourir.

(') Le cas de deux cercles sera traité à la fin de ce Chapitre et le cas de deux ellipses homofocales au Chapitre \.

Cela posé, considérons d'abord les points a* du contour s qui admettent une tangente bien déterminée. Nous pouvons construire un premier cercle tangent en a au contour s et tout entier extérieur à S, et ensuite un second cercle concentrique au premier, contenu tout entier dans ï et comprenant S à son intérieur, ce qui est possible, si la région T a été prise assez gi*ande et si le rajon du premier cercle est assez petit. Soit o> la fonction harmonique entre les deux cercles, et prenant sur ces cercles les mêmes valeurs queWo, O" aura, pour tout point A de S,

Imaginons maintenant que le point A tende vers o* ; W/i et w tendent tous deux vers la valeur de W© en o- : donc W tend aussi vers cette valeur, qui est

(3) \ia-^-%.

Lorsque la tangente en Test complètement extérieure à S, nous aurions pu, au lieu des deux circonférences précédentes, n'en considérer qu'une tangente en a à 5 et comprenant S à son intérieur, et cette construction s'applique même au cas où le point ? serait une pointe, pourvu qu'on puisse, par ce point, mener une droite complètement extérieure à S.

En général, lorsque le point <j est une pointe, telle que A, par exemple {fig- i4)î ^^ ne pourra pas tracer toujours une ou deux

Fig. i',.

circonférences, remplissant les conditions précédentes, mais si Ton peut mener par A un petit segment de droite AA' extérieur à Taire S, on prendra alors pour déterminer w le contour formé par une ellipse extérieure à S, ayant pour foyers A et A', et par la portion de droite AA' considérée comme droite double.

La méthode précédente ne s'appliquerait pas si l'on avait au

point A une pointe rentrante formant un rebroussement de seconde espèce. Une discussion plus approfondie est alors nécessaire; on la trouvera dans le travail déjà cite de M. Paraf.

12. Nous avons constaté dans les paragraphes précédents l'existence d'une fonction W(:r,j^) définie dans l'intérieur de S, et tendant vers l'expression (3) quand le point (x, y) se rapproche d'un point quelconque <t du contour. Nous allons maintenant établir que cette fonction est harmonique.

Envisageons un des cercles, Ca par exemple, et supposons que ce cercle soit balayé aux opérations a,, ao, ..., a„, Après chacune de ces opérations, le cercle C» ne contient plus aucune masse. On a donc à l'intérieur de ce cercle

AWa, = o ; or les fonctions

^Voij j ^Vo(j> • • • > »» ot„» • • •

sont des fonctions harmoniques décroissantes, et ayant W pour limite. La série

a donc tous ses termes positifs, sauf peut-être le premier. Tous ces termes sont harmoniques, et la série converge évidemment. Elle définit donc une fonction harmonique dans Cœ, d'après le théorème de Harnack (Chap. II, § 6); or la limite de la série étant W, il en résulte que cette fonction est harmonique dans C» et, par suite, dans toute l'aire S.

Si l'on forme alors la fonction

on aura une fonction harmonique dans S et prenant la valeur U sur le contour s. Le problème de Dirichlet est donc résolu.

Dans la méthode précédente, on part d'une fonction quel- <!onque Wo, assujettie seulement à prendre les valeurs données sur le contour. Nous avons dû faire quelques restrictions sur cette fonction; nous allons les lever dans un moment. Mais on voit dès

lOO CHAPITRE IT.

maintenant combien la méthode de M. Poincaré est originale. Tandis que, dans les méthodes de Neumann et de Schwarz, on part toujours d^une fonction harmonique, et que les approximations successives, qui doivent faire approcher de plus en plus de la fonction cherchée, sont toujours des fonctions harmoniques, il en est tout autrement chez M. Poincaré. Ici, on part d^une fonction quelconque prenant les valeurs données sur le contour, et l'on forme une succession de fonctions qui ne sont pas harmoniques dans toute l'aire S; c'est seulement leur limite qui donne une fonction harmonique dans cette aire tout entière.

13. On a supposé, dans la démonstration précédente, que AY» conserverait un signe constant. S'il en était autrement, on pourrait toujours partagerTen deux régions T| etTj, la première con-

tenant tous les points pour lesquels ;— ^ est positif, la deuxième

tous ceux pour lesquels la même quantité est négative. DéGnissons alors des fonctions pi et o-j par les conditions suivantes

Pi = p dans T|, pi = o dans Tj, Pi = o dans Ti, pj = — p dans Tj.

Ces deux fonctions sont continues dans toute Tétenduc de T, et elles sont positives ou nulles. De plus, on a

P = ?i— Pî.

Considérons alors deux systi'mes de masses ajant des densités p, et pai elles engendreront deux potentiels WJ et WJ, qui, dans toute l'étendue de T, donneront lieu aux relations

Do

ne

et, par suite,

A(VV{-W5-Vo)=o.

On a donc

wj-w;-Vo=o,

0 étant harmonique dans T et complètement connu. Les raison-

SOLUTION DU PROBLÈME DE DIRICHLET. lOI

nements précédents s'appliquent aux deux fonctions W^ etWJ. Elles engendrent respectivement deux fonctions W* et W^ harmoniques dans S et prenant sur le contour les mêmes valeurs que WJ et WJ. La fonction W* — W^ — 6 résout donc le problème.

14. La méthode qu'on vient de lire, suppose qu'on a déterminé une fonction Vo(x,^), continue dans T, ainsi que ses dérivées partielles des trois premiers ordres, et prenant sur la courbe s la succession continue donnée des valeurs représentée par U. Ou pourra évidemment, pour une infinité de fonctions U sur 5, trouver une fonction Vo (^, y) satisfaisant aux conditions requises. Toutefois, certaines conditions seront nécessaires : ainsi U devra sur le contour admettre aussi des dérivées des trois premiers ordres. Si donc on ne veut faire sur U d'autres hypothèses que la continuité, il est indispensable de compléter la méthode.

15. Examinons donc le cas général où la succession donnée des valeurs U sur s satisfait à l'unique condition d'élre continue. M. Paraf a montré de la manière suivante que ce cas général pouvait être ramené au cas particulier que nous venons de traiter.

On peut toujours, et d'une infinité de manières, construire une fonction ^(^, ^), continue dans la région T et prenant sur* les valeurs données U. Ceci fait, nous allons construire une infinité de polynômes

croissant et tendant uniformément vers ^ dans la région T. Appelons

les valeurs de ces polynômes sur 5; ces fonctions U/i sont croissantes et tendent uniformément vers U. Sachant résoudre maintenant le problème de Dirichlet pour chacune des valeurs

tJij t^î» •••1 t^/i» •••»

données sur le contour, nous aurons une suite de fonctions harmoniques dans S

Nous monlrerons que ces fonctions V,, tendent vers une limite V ' qui est la fonction cherchée.

16. D'après ce que nous avons démontré (t. I, p. 26a), on peul toujours trouver un polynôme F (x, y) qui représente, avec une erreur moindre qu'un nombre e donné à l'avance, une fonction '} (^' y)-! arbitrairement définie dans une aire T et assujettie à la seule condition d'être continue.

Soit *!^ (x, y) une telle fonction prenant sur 5 la succession de valeurs li; nous pouvons la supposer positive; car, dans la solution du problème de Dirichlet, on peut toujours ajouter une constante à U. Désignons par

une succession de nombres positifs croissants, tendant vers l'unité. On suppose que

conditions qui peuvent être réalisées d'une infinité de manières, par exemple avec X/ = 1 — ^-r»

Considérons enfin la suite des fonctions continues, positives, croissantes et tendant vers '1,

En appelant m la limite inférieure de ^ dans T, je construis le polynôme F/(j;,jk), qui représente "ki^ avec une erreur moindre

que- 0///i. Ces polynômes F/ forment une suite croissante, car

on a

F/4-1 > ^/-M'!' — 7 Oi+inij F/ < X/4; -f- - 0//W.

donc

F|+i — F| > X/-H,<^ — li^ — - (0/-4- 0/+1) m

> o//n (8/-+- o/-Hi)m ~ - m(0|— 0/4-1) > o,

SOLUTION DU PROBLfelTE DE DIRICHLET. Io3

^ t cette suite croissante tend uniformément vers ^. Si donc on sippelle U/ la valeur de F, sur s, les U| forment aussi une suite c^roissante tendant uniformément vers U.

Maintenant nous savons, au moyen de chaque fonction F,, oonstruire une fonction V/ harmonique dans S et se réduisant ài U| sur s. Ces fonctions V| forment une suite croissante, puisque la différence V/^i — V/ prend sur s des valeurs positives; d'ailleurs V/est toujours inférieur à la limite supérieure M de ^, puisqu'il en est de même de U|.

Les fonctions V, ont donc une limite V; je dis que V est la fonction cherchée. Considérons en effet la série convergente

Chaque terme de la série est harmonique dans S, et le terme général V« — Vn-t tend vers U« — U/i i quand le point mobile s'approche du contour. D'ailleurs la série de ces valeurs sur le contour s

Ui-4- (U,- Ui) -h. . .-h (U«- U«-i) -+-. . .

Converge uniformément vers U sur tout le contour; donc, d'après 'e théorème de Harnack, la fonction V est harmonique dans S ^l prend la valeur U sur s.

17. Nous terminerons ce Chapitre par l'examen du cas particulier dont nous avons eu besoin au § 11, où le contour se com- (^ose de deux cercles concentriques.'

Soient donc C et G les deux cercles, R et R' leurs rayons, r et o les coordonnées polaires d'un point de la couronne

Nous voulons trouver une fonction/(r,<p), harmonique dans la couronne (S), se réduisant à des fonctions données U(ç) sur (C), Y(cp) sur (C), quand le point (r, cp) tend vers C ou vers C par un chemin quelconque.

Nous supposerons seulement que ces deux fonctions de ç satisfont aux conditions de Dirichlet, et forment sur le contour une

suite continue. Nous pouvons donc poser

V(?)=ai+2 ^'"(î)'

OÙ U;„ et Vm désignent, par abréviation,

U//i= a,„cosm<p-4- 3,„sinmo, V/n = 3t',„ cos m o -f- 3^4 sin m ç,

et ces deux séries sont uniformément convergentes sur les contours respectifs (C) et (C) (t. I, p. aSg).

Supposons d'abord que les valeurs de U et V données sur les contours C et C se réduisent respectivement à i et o, ou à o et i. La solution est immédiate : ce sont les fonctions harmoniques