IV ^^ — R

Soit, en second lieu, cosm^ et o, ou o et cosmcp les valeurs de U et V données sur les contours C et C. Les solutions apparaissent encore d'elles-mêmes. Ce sont les fonctions harmoniques

,.„[ TTrk — cos/iiQ et ' / ^-rrr: — cosmo.

En remplaçant cos/7?(p par sinmcp, on a les solutions correspondantes aux valeurs o et sin m y sur les contours.

Gela posé, la solution générale va s'obtenir bien facilement. Posons, d'une part,

SOLUTION Dl PROBLÈME DE DIRICHLET. I o5

<^t, cl"*aulre part,

,'°eR Uj -y-r) ,, ^ ,

'■" - »« '^iR'' ^"' - /R'\m /R w« Vm(.?),

'°8r (rJ -(rV

'^'^ o I)lient ainsi deux suites de fonctions harmoniques dans la courot» «r^e (S)

I/q f '^If '^2? .... '^//i) •••1

«r le contour C, la série des valeurs que prennent ces deux '^^^^^«s sont respeclivement ll(ç) et o; et sur le contour C, o

■H^onc, en appliquant le théorème de M. IIarnack(Chap. Il, §6), ^ "^ ^<îune des deux séries

M(r, <p)= ao-+- W|-r- «Î-+-- • -T- UiH-^' • '^

«a uniformément convergente à l'intérieur de Taire (S) et reprétera une fonction harmonique. La première tend vers U(o) ou s o, quand le point (r, ©) se rapproche de C ou C par un îmin quelconque. La seconde tend vers o ou vers V(tp ) dans mêmes conditions.

La somme de ces deux séries

pond à la question proposée. C'est une fonction harmonique ^^iformément convergente à l'intérieur de (S) et qui tend vers (y) ou vers V(<p), suivant que le point (r, ©) se rapproche de C ^i de C.

On peut lui donner encore une autre forme en l'écrivant de la •'•rianière suivante

/('•»?)= — nâ'(*^*^^7 ^^'^^^^Kj

log-g-

■^2 /R'N"« ' /R\'"î \fj l(r/ ""-"M

(ffm'^-^-i

Io6 CHAPITRE IV. — SOLUTION DU PROBLÈME DE DIRICHLBT.

et, par suite,

/(/%?)- --|^-7(«olog--i-ûtilog0 -t- 2 (7

log-ô

puisque chacune des séries sous le signe ^ est évidemment aL> lument convergente.