I. — Théorèmes généraux de Cauchy

1. Nous avons déjà obtenu les résultais généraux relatifs aux fonctions d'une variable complexe, en les déduisant des propriétés générales des fonctions harmoniques. Nous sommes arrivés ainsi à la formule fondamentale de Cauchy (Chap. II, § 13) et à son théorème relatif aux fonctions bien déterminées et continues à l'intérieur d'un cercle. Il est indispensable que nous retrouvions ces résultats par la voie même qui y a conduit le célèbre auteur.

Soit y (j:) une fonction analytique uniforme et continue à l'intérieur de l'aire limitée par un contour C (formé d'une ou de plusieurs courbes distinctes) (*); nous allons montrer que l'on a

rintégrale étant prise le long du contour C dans le sens positif et X désignant un point quelconque de l'intérieur de l'aire. Pour démontrer cette formule, décrivons de x comme centre un cercle y, de rayon p, intérieur à l'aire. La fonction

(*) Nous appellerons souvent /o/tc^to/t /lo/omor/^Ae dans une aire une fonction analytique uniforme et continue dans cette aire.

108 CHAPITRE y.

esl continue dans Taire intérieure à G et extérieure à y : on a d

le sens d'intégration étant positif sur y comme sur G. La secoi intégrale ne dépend pas du rayon p; prenons ce rajon p as petit pour que l'on ait, z étant sur y,

|7^| étant moindre qu^une quantité positive e, donnée à ravan aussi petite que l'on voudra. On aura

or, dans le second membre, nous avons d'abord l'intégrale

i/i1-=/«Xî^

Si l'on pose

z = x-i- pé

on a

La première partie du second membre est donc iTzif^ d'autre part

le module de cette dernière intégrale est donc moindre que 2 mais elle est indépendante de p, puisqu'elle est la différence deux expressions qui ne dépendent pas de cette grandeur seconde partie du second membre est donc rigoureusement nu et Von a par suite la Jormule fondamentale

•^ 'ITZl J., z — X