Gette formule n'est autre chose qu'une forme parliculi

FONCTIONS D UNE VARIABLE COMPLEXE

de la formule fondamentale de Green

lO()

démontrée au Chapitre I (§ 10). Il est facile de s'en assurer. Dési-

Fig. i5.

JD-

ir

nons le point x par z', pour éviter toute confusion, et posons

u ot (' étant deux fonctions harmoniques qui satisfont aux équations

du dv du __ ôv

dx ~~ dy dy dx

On vérifie sans peine que, pour tout point du contour C, en désignant par s Tare de courbe, les relations précédentes prennent la forme

du dv du

ds dit dn

dy ds

Exprimons les deux fonctions w et (^ au moyen de la formule (>.), et ajoutons les résultats après avoir multiplié la seconde par /; on obtient

/,.) = „ + ,.= j l^log;- —^j- (« + u') -^ J ,/.

OU, en vertu des relations (3),

logr

d( u -\- iv) ds ~

. .dloç^rl

d ds

1 JO CHAPITRE y.

Cctlc intégrale se réduit donc à

Désignons par a et ^ les angles que la normale intérieure fait respectivement avec Taxe des x et Taxe des j^; on trouve, par un calcul bien simple, les relations

ds = — dz e'«, -i i -r- = tf-'?

' as an

et Ton en déduit, en substituant dans (4)) la formule fondamentale de Cauchy

/•/-'i ' r{u-hiv)dz

^^-'-^-^ITiX- -z--z^'

3. Les expressions des dérivées successives def{x) résultent immédiatement de la formule (i). En donnant à x Taccroissement \Xj on aura

f(T-\-lx)-^fir)=. '-. ffiz)( ' ^—\dz.

Divisons par Ax, et remarquons que

est, pour Aa: == o, égale à la dérivée de ^ - par rapport à jr, c'est-à-dire ;» ce rapport tendant d'ailleurs uniformément

vers cette limite quand z décrit le contour C. Il en résulte

et d'une manière générale, en continuant de la môme manière,

(j) f^fiUx)= : — / — • -dz.

11 n'est pas sans intérêt de remarquer que l'établissement do la formule (i) suppose seulement ([ue la fonction analytique /(i; )

FONCTIONS d'une VARIABLE COMPLEXE. I 1 I

ait une dérivée du premier ordre, c'est-à-dire qu'en posant

P et Q ont des dérivées continues et bien déterminées du premier ordre, satisfaisant d'ailleurs aux deux relations tant de fois écrites. La formule générale (5) montre c[ue/(z) a des dérivées de tout ordre ; ainsi ^existence de la dérivée première, pour une fonction analytique , entraîne V existence des dérivées de tout ordre,

4. Une conséquence de la formule (5) nous sera plus tard très utile. Supposons que la courbe C se réduise à un cercle de rayon R ayant l'origine pour centre, et que x =^o : on aura, en posant

Soit M le module maximum de/{z) sur le cercle, il vient

|/.,)(o)|<ill^M.

Nous en concluons facilement qu'on peut construire une fonction uniforme et continue à l'intérieur du cercle de rayon R ayant pour centre l'origine, dont toutes les dérivées soient positives pour .3 = o et égales, pour chaque valeur de n, à la limite que nous venons de trouver pour {/^"^(o) |. 11 suffit, en effet, de prendre la fonction

qui est bien telle que

5. De la formule fondamentale (i), Cauchy a déduit le développement d'une fonction uniforme et continue à l'intérieur d'un -cercle en série de Maclaurin. Soit un cercle C de rayon R, ayant l'origine pour centre; on a, x étant à l'intérieur de ce cercle.

/(-)=. -^Xëi^^^

I l i CHAPITRE V.

or on a Ficlcntilé

<ît, par suile,

'IT.l J^ Z ITZl J^ Z^

On volt que f{x) est représenté par un polynôme de degré w, augmenté d'un terme complémentaire. Si donc celui-ci tend vers zéro pour n infini, nous aurons un développement de f{x) en série entière, c'est-à-dire en série ordonnée suivant les puissances positives entières et croissantes de la variable a*. Or, lorsque ^ décrit le cercle C, \, - a un module qui ne dépasse pas une certaine limite M; si donc on pose

on aura

ëii (-:)■*' I < »■ (k)--

Par conséquent le module du terme complémentaire sera moindre que le produit de M l-^\ par la longueur de l'arc d'intégration, C'est-à-dire que

[t7] 2 7:R on XTzrM l- \

expression qui tend bien vers zéro puisque /• < R. On a donc la série

Ce développement n'est d'ailleurs autre chose que la série de Maclaurin, puisque, d'après la formule (5),

f n / o) . - ; -î^ — - dz

FONCTIONS d'une VARIABLE COMPLEXE. Il3

Le théorème que nous venons d'élablîr joue dans la théorie des >nclions un rôle capital. Nous l'avions déjà établi (Chap. II, 13), en développant séparément la partie réelle el la partie imainaire de/{x). Les deux méthodes ne sont d'ailleurs distinctes n'en apparence; dans les deux cas, on fait au fond usage de la léme formule, puisque la formule fondamentale de Cauchy n'est u'une forme de la formule de Green, comme nous venons de le oîr (§ 2).

6. Nous dirons quelquefois, pour abréger, qu'un point est, pour ne fonction, un ipoini ordinaire si Ton peut, dans le voisinage de e point, développer la fonction par la formule de Taylor, ou encre si elle est holomorphe dans le voisinage de ce point.

Si tous les points de l'intérieur d'une aire A et de son périmètre ont des points ordinaires pour une fonction, on pourra pour chacun d'eux, d'après la définition précédente, trouver une quantité p elle que la fonction soit développable dans un cercle de rayon p utour de ce point. Il est clair que, pour l'ensemble de ces points, aura un minimum diflférent de zéro. Nous allons établir qu'une )nction satisfaisant aux conditions précédentes, à l'intérieur et ir le périmètre d'une aire A, ne peut avoir dans cette région u'un nombre limité de racines.

Faisons d'abord la remarque suivante : une série f{z)^ ordonée suivant les puissances croissantes àe z — a et s'annulant pour =z a, ne s'annule pour aucun autre point à l'intérieur d'un ercle de centre a et d'un rayon p' suffisamment petit. On a, en Dret,y"(-3) s'annulant pour :: = a, une puissance entière et finie e (^ — a) en facteur, et, par suite,

Lo n'étant pas nul. Si donc \z — a' est inférieur à un nombre p' uffisamment petit, la quantité entre parenthèse sera difl'érente e zéro.

Pour toutes les racines, ce rayon p' est différent de zéro; il a lonc un minimum qui n'est pas nul. Ceci suffit à établir que les acines sont en nombre limité dans la région indiquée.

7. L'analyse de Caucliy a été généralisée en i843 par le com- P. - II. 8

I I 4 CilAPITBE V.

niandanl Laurent, qui a considéré une fonction y (j:)holomorphe entre deux circonférences concentriques C et C. Supposons que Torigine soit le centre commun et désignons par R etR'lesrajons (le C et C(R > R'). L'apj)licalion de la formule fondamentale donne

/( .r ) =-- . / ~ — - dz 1 1 az.

Nous prenons la seconde intégrale avec le signe moins, parce que nous la prenons dans le même sens géométrique que la première.

Développons en série chacune des deux intégrales; pour la premiùrcy nous n^avons qu^à appliquer ce que nous avons dit au paragraphe précédent. Mais la seconde donne naissance à un développement en série d'une forme différente. En effet, puisque sur la circonférence C le module de z est inférieur à celui de j:* nous partirons de Tidenlité

lie 5» \^/

z — X '~ X .r* " * j?"-*-* z — JP

-Nous avons donc

-J^-Jj^-y-^'-XMiT---

On montrera, comme précédemment, que le terme complémenlaire tend vers zéro quand n augmente indéfiniment; la seconde iulégrale est donc développée en une série entière par rapport

à -• 11 en résulte que la fonction f{x) se trompe développée en

une somme de deux séries ordonnées, la première par rapport aux puissances croissantes et entières de x, la seconde par rapport aux puissances croissantes de -•

La première de ces séries est convergente pour tout point intérieur au cercle C, la seconde série converge pour tout point extérieur au cercle (7. L'ensemble des deux séries sera convergent dans la couronne comprise entre les deux circonférences.

FONCTIONS D^UNB VARIABLE COMPLEXE. II 5

Il pourra arriver que la seconde circonférence ait un rayon j1, on aura alors un développement de la fonction valable pour us les points du cercle C, à C exception de V origine. Ainsi,

Ton a une fonction /(s), uniforme à l'intérieur d'un cercle G rant l'origine pour centre, et continue pour tous les points de ce îrcle, sauf pour le centre, on peut développer /(>s) en série de

forme

p = —to p= 0

8. Les développements précédents permettent d'établir facilelent quelques résultats généraux relatifs aux fonctions uniformes, lonsidérons une fonction /(.s), uniforme et continue dans tout iplan de la variable z] on suppose de plus que son module reste mjours inférieur à une quantité fixe M, quelque grand que >it z. Nous allons montrer, avec Liouville, que la fonction doit ! réduire nécessairement à une constante. Nous pouvons en eft développer /(^) en série entière

/{z) = Ao-+- AiZ -i-. . .-h AfnZ^-h. . .y

: cette série sera convergente à l'intérieur d'un cercle C, ayant origine pour centre et un rayon arbitraire R. Or on a (§ 5)

t, puisque sur le cercle

na (§4)

^r R est aussi grand qu'on voudra, par suite la quantité fixe A^ st rigoureusement nulle (sauf pour m = o), et la /onction /(z) e réduit à la constante Aq.

Nous avions déjà rencontré ce théorème de Liouville, car il l'est pas distinct du théorème établi (Chap. I, § 12) et relatif àox fonctions harmoniques. Nous avons vu, en effet, que si une telle fonction, bien déterminée et continue pour toute valeur de

Il6 CHAPITRE Y.

X et^, restait toujours moindre en valeur absolue qu'une quantité fixe, elle devait nécessairement se réduire à une constante.

Or, en posant ici

/(5) = P4-Qe,

on aura évidemment, si |/(-) < M, les deux inégalités

et, par suite, P et Q seront des constantes.

9. Le théorème de Liouvillc se généralise immédiatement, en supposant non plus que le module de f{z) reste toujours inférieur à M, mais que, pour des valeurs de |^| supérieures à une quantité déterminée, on ait

m étant un entier positif déterminé. En prenant toujours le développement de/(^), on a, p étant un entier positif arbitraire et en intégrant le long du cercle de rayon R,

et, par suite.

et Ton en conclut, R étant aussi grand qu'on voudra,

La Jonction f{i) se réduit donc à un polynôme de degré m,

II. — Pôles et points singuliers essentiels d'une fonction uniforme.

10. Nous avons jusqu'ici supposé que la fonction /{z) était holomorphe dans la région considérée. Soit dans cette région un point «, pour lequel la fonction cesse d'être continue ; on suppose que si de a comme centre on décrit un cercle G d'un rayon assez petit, la fonction /(s) est uniforme dans ce cercle et continue pour tous les points, sauf le point a. Dans ces condi-

FONGTIOIf s d'une VARIABLE COMPLEXE. 1 1 7

tîons nous avons (§ 7) le développement

Si les termes B^ sont en nombre limité, on dira que le point a est un pôle. On aura donc, dans ce cas,

ce développement étant valable pour les points d'un cercle d'un rayon suffisamment petit décrit autour du poin a. On aurait pu prendre la possibilité de ce développement comme définition du pôle. Le pôle a est dit un pôle d'ordre m, si — m est la plus petite puissance Ae z — a qui figure dans le développement. On voit

que le produit

est uniforme et continu dans le voisinage de ^ = a, et prend pour z = a une valeur finie et différente de zéro.

D'après la définition même du pôle, il est clair que, si une fonction holomorphe n'a, dans l'intérieur d'une aire et sur son contour, d'autres points singuliers que des pôles, ceux-ci sont en nombre fini. On doit pouvoir, en effet, autour de chaque point de ce domaine, tracer un cercle de rayon déterminé et différent de zéro, à l'intérieur duquel la fonction sera développable soit par la formule de Taylor, soit par la formule (6).

11. Parmi les coefficients B, il en est un particulièrement important : c'est le coefficient B| que Cauchy a appelé résidu de la fonction relatif au pôle a. L'importance de ce coefficient va apparaître dans la recherche de l'intégrale

J /(z)dz,

prise le long d'un contour simple entourant le pôle a. Nous pouvons substituer au contour C une circonférence F ayant son centre

Il8 CHAPITBB V.

en a et un rayon assez pelil pour que la fonction puisse être dan: ce cercle représentée par l'expression (6). On aura alors

f/{z)dz = B^ r ^- ^...+ B, T-^.

Jr Jr(^""^) ^Jpz — a

Or on a

a) comme on le voit de suite, en posant

et faisant l'intégration de 6 = o à 6 = 27c. On a de même

r dz

Nous avons donc

Jf /{z)dz = 2:ri.Bi.

Si Ton suppose d'une manière plus générale que le contour simple G entoure un nombre quelconque de pôles a, 6, ..., /, on aura en ajoutant les résultats partiels dus à chaque pôle

/ /{z)dz = azi V R, «- c ^^

^R désignant la somme des résidus relatifs aux dificrents pôles

situés à l'intérieur de C.

Nous pouvons donc énoncer le théorème fondamental suivante dont Cauchy a fait d'innombrables applications :

Uintégrale d\ine fonction uniforme prise le long d'un contour simple est égale au produit de 2Tzi par la somme des résidus de la fonction relatifs aux pôles situés à l'intérieur du contour.

12. Les fonctions uniformes peuvent présenter d'autres points singuliers que les pôles. Nous dirons d'une manière générale qu'un point O qui n'est pour une fonction uniforme /(w) ni un pôle, ni

FONCTIONS d'une VARIABLE COMPLEXE. I I9

lin point ordinaire, est un point singulier essentiel isolé pour cette fonction, si, à Tin teneur d'un cercle ayant O pour centre, la fonction est uniforme, et si, en dehors de O, elle ne possède

dans ce cercle d'autres points singuliers que des pôles.

Ainsi, par exemple, la fonction e^ a au point 5 = 0 un point singulier essentiel isolé. Ce point n'est en effet pour la fonction ni un pôle, ni un point ordinaire. L'étude de cette fonction si simple va nous montrer de suite l'indétermination d'une fonction dans le voisinage d'un point singulier essentiel. Considérons en

effet l'équation

V étant une constante quelconque différente de zéro. 11 est facile l'avoir ses racines. Soit en effet

A = We^i

- =p -hqi; ^ n aura

ï^e module du premier membre est égal à eP et son argument

•> </; on a donc

eP=zï{ ou /> = logR,

Je logarithme étant le logarithme arithmétique, et donc

~" Uy^W -r- {oL -f •ikT.)i

/" étant un entier arbitraire positif ou négatif.

Quand k augmente indéfiniment, ces valeurs de z tendent vers zéro. On en conclut que l'équation

« une infinité de racines dans le voisinage de :; = o, c'est-à-dire 7ue, quelque petit que soit le rayon d^un cercle décrit de Vori-

gine comme centre, il y aura toujours une infinité de racines de cette équation contenues à V intérieur de ce cercle. Cet exemple montre combien est profonde l'indétermination d' une fonction dans ]e voisinage d^un point singulier essentiel.

13. C'est M. Weierstrass qui a fait le premier, d'une manière systématique, l'étude des points singuliers essentiels (*). L'illustre auteur a montré que, dans le voisinage d'un point essentiel, la fonction f{z) s* approche autant qiCon veut de toute valeur donnée, c'est-à-dire que, étant donné un nombre e aussi petit qu'on voudra et un nombre quelconque A, il y aura toujours, à l'intérieur d'un cercle ayant a pour centre et un rayon si petit qu'il soit, des points z où

M. Weierstrass déduit cette proposition de ses théorèmes généraux sur les fonctions uniformes. Nous en donnerons une démonstration différente (').

Tout d'abord remarquons que , dans le voisinage d'un point singulier essentiel, la fonction peut admettre une infinité de pôles. Ainsi la fonction

a pour point singulier essentiel ^ =^ o, et elle admet les pôles en

nombre infini z= y- (k entier).

Air ^ ^

Pour établir le théorème général qui vient d'être énoncé, considérons la fonction

Deux cas pourront se présenter. La fonction (8) pourra avoir une

(') K. Weierstrass, Mémoire sur les fonctions uni/ormes d'une variable {Mémoires de l'Académie de Berlin, i8;6).

(') J'ai donné pour la première fois celle démonstration dans mon Cours li- Ihographié de i886.

FONCTIONS DUKE VARIABLK COMPLEXE. 1 ?. I

infinité de pôles dans le voisinage du point singulier essentiel a]

dans ce cas, Féquation

aura une infinité de racines dans le voisinage de a, et le théorème est alors évident : la fonction non seulement s'approche autant qu'on veut de A, mais lui devient rigoureusement égale.

En second lieu, la fonction (8) n'a pas une infinité de pôles dans le voisinage de a. On peut alors dans ce voisinage se servir de la formule de Laurent, et Ton a, dans l'intérieur d'un certain cercle C,