La proposition précédente ne nous apprend rien sur les

racines de l'équation

dans le voisinage du point a. Bornons-nous à énoncer un théorème sur lequel nous reviendrons plus tard (*) :

L'équation précédente a en général une infinité de racines dans le voisinage de a. Il peut arriver cependant quHl n'en soit

C) E. Picard, Mémoire sur les fonctions entières {Annales de l'École Normale, 1&80).

laa CHAPITRE V.

pas ainsi pour certaines valeurs exceptionnelles de la constante A, mais il ne peut exister plus de deux valeurs exceptionnelles.

Dans cel énoncé la valeur A =:oc est à considérer comme une valeur que rien ne distingue des autres.

De ce théorème résulte une classification pour les points singuliers essentiels isolés d'une fonction uniforme f{z). On peul les partager en trois classes :

1° La fonction /(-s) peut prendre sans exception toutes les valeurs que Ton voudra dans le voisinage de a ; on peut dire que c'est le cas général.

1^ Il peut y avoir une valeur exceptionnelle que la fonction ne prendra pas dans le voisinage de a. Ainsi, par exemple, la fonction

ne devient pas nulle dans le voisinage de -5 = o. Nous avons ici l'unique valeur exceptionnelle A = o.

3** Deux valeurs exceptionnelles peuvent enfin se rencontrer.

La fonction e* en offre un exemple ; l'équation

n'aura pas de racines dans le voisinage de l'origine si A = o et si A = 00.

15. Nous avons toujours supposé jusqu'ici que le point, dans le voisinage duquel on faisait l'étude de la fonction, est à distance finie. Dans la théorie des fonctions d'une variable complexe, on considère les valeurs de ;; d'un module infiniment grand comme formant un point; on le désigne sous le nom de point à l'infini. Il suffit de poser

pour que le point à l'infini dans le plan des z soit ramené à l'origine dans le plan des z'.

FONCTIONS D'UNB VARIABLE COMPLEXE. 123

Les définitions et les théorèmes qui en résultent s'étendent donc sans difGculté au point à Tinfini. Celui-ci, par exemple, sera un pôle pour la fonction /(<z), si la fonction

admet comme pôle le point z'=^ o : on aura alors

G(^') étant holomorphe dans le voisinage de z'= o : donc

/(z)= A;„5'«-h. . .-+- Ajz -t- G( i j

G ( - j étant une série entière en -, convergente quand |;;| est suffisamment grand.

Si nous considérons en particulier un polynôme d'ordre m, nous pouvons le regarder comme une fonction de z ayant, pour toute singularité, le point à l'infini comme pôle d'ordre m. La réciproque est vraie, c'est-à-dire qu^une /onction uniforme dans tout le plan, ayant comme seule singularité le point à V infini supposé pôle d^ ordre m, se réduit à un polynôme de degré m. Il est clair en effet, que, dans ce cas,

reste, à partir d'une certaine valeur de | s |, inférieur à un nombre fixe; par conséquent, d'après le théorème de Liouville généralisé (§ 9), la fonction entière /(^) doit se réduire à un polynôme qui devra être nécessairement de degré /w, puisque le point à rinfini est un pôle d'ordre m.

Ce théorème peut se généraliser. Une fonction rationnelle est une fonction uniforme qui n'a dans tout le plan, y compris le point à l'infini, d'autres points singuliers que des pôles. La réciproque est exacte et se déduit de suite du théorème précédent. Soient en effet a, 6, . . . , / les pôles de notre fonction /(5), à distance finie

et de degrés de multiplicité a, p, . . . , X. Formons le prodait

il n^aura plus de pôle à distance fînie, et le point à l'infini ^ ne pourra être qu'un pôle ou qu'un point ordinaire. Ce produit e^^mest donc un polynôme ou une constante et il est bien établi quey(- z) est une fraction rationnelle,

III. — Fonctions anal3rtiques élémentaires d'une variable complexe.

16. Nous avons déjà, à propos de la théorie des séries entièi~ ^s (Ghap. II), défini les fonctions élémentaires e*, sin5 et coss, i^ ^i sont uniformes et continues dans tout le plan. Nous nous occ^ljiperons dans ce paragraphe des fonctions élémentaires qui a -^l— mettent des points singuliers et de celles qui ne sont pas ui formes.