Les fonctions tang^ et cot^ sont définies par les quotie

et-^-^* La fonction cos^ s'annulant pour certaines vale

COS5 smz *

de c, tangx; deviendra infini. Cherchons les racines de cos5, devra avoir

OU

donc, en posant ;; =r a + i jâ,

Or, — I ayant Tunité pour module cl son argument pouvant êl

pris égal à t:, on aura

Par conséquent, les racines z sont données par la formule

FONCTIONS DUNE VARIABLE COMPLEXE. 123

A étant un entier positif ou négatif. Ces points sont des pôles ^simples de tangz.

On verra de la même manière que les pôles de coiz sont donnés par

Ainsi, tandis que les fonctions e^^ sinz et cos.3 sont des fonctions entières, les fonctions tang.3 et cot5, qui sont aussi uniformes dans tout le plan, ont un nombre infini de pôles.

Nous verrons dans le Chapitre suivant comment on peut les développer en séries de fractions rationnelles.

18. Nous n'avons considéré jusqu'ici que des fonctions unifermes, c'est-à-dire n'ayant qu'une valeur pour chaque valeur de z. Prenons maintenante' expression

fi^our une valeur de .5, e/ a deux déterminations, mais on ne doit f>as considérer ces deux déterminations comme représentant deux ^onctions distinctes de 5. En eflet, partons d'une valeur ^0(^0 7^ «)^ l soil Uo une des déterminations du radical \/zo — a. Traçons

bilans le plan de la variable z un chemin allant de Zo à un point Zi

^t ne passant pas par a; suivons par continuité la valeur de w à

j>arlir de la détermination choisie Uq pour z = 5©, c'est-à-dire pre-

:Kions, pour z voisin de Zq, la valeur de u voisine de Uq et ainsi de

2uite de proche en proche. Nous arrivons ainsi au point Zt avec

^ne valeur déterminée pour u. Deux chemins différents allant

-de Zq à 5| donneront, à l'arrivée en Zt , la même valeur pour u] si le

point a n'est pas compris dans l'aire limitée par l'ensemble des

<leux chemins. En effet, en posant

5 — a = p(cos6 -f- 1 sinO), prenons pour Uq la détermination

et pour valeur générale de ^z — a

/-— « = /P (cos- -1- t sin - j

ia6 CHAPITRE V.

Eq faisant varier p et H d'une manière continue depuis (po, 6«) correspondant à Zq^ jusqu^à (pi,6|) correspondant à ^i, Targument Ht est bien le même, que Ton ait suivi Tun ou Fautre chemin, si le point a est extérieur à Faire limitée par les deui chemins. Il en est autrement si Ton a deux chemins C et G formant la limite d'une aire comprenant le point a {fig* i6). Si ron

part de x;,, avec l'argument Oo pour z^ — a, et si 0| désigne encore Targument obtenu en arrivant en ^i par le chemin C, il est clair que le chemin G nous conduira en z^ avec l'argument 0| — a?:: nous trouverons donc, par le chemin C, la valeur

et par le chemin C

Les deux déterminations de la fonction ne forment donc pas des fonctions distinctes. Ainsi, en particulier, si Ton part de z^ avec une certaine détermination, on reviendra en ce point avec Tautre détermination si Ton tourne une fois autour de Torigine.

Ces remarques sont bien simples; elles n'en ont pas moins joué

un rôle considérable dans la Science, en appelant l'attention sur

les fonctions non uniformes. On a considéré longtemps les deux

valeurs de

comme formant deux fonctions distinctes de z] c'est qu'on ne s'attachait pas à Tidée de continuité pour défmir au juste ce que l'on entendait par fonction. Nous venons de voir que c'est en suivant par continuité la succession des valeurs de u sur un chemin

FONCTIONS D UNE VARIABLE COMPLEXE. 127

donné, que la valeur Gnale se déduit sans ambiguïté de la valeur init.iale.

il S. Un autre exemple de fonction non uniforme va nous être fourni par la yb/ic/£OAi logarithmique. Cherchons les racines de Técjiiation en ii

^ éCânt une quantité donnée; u est par définition le logarithme de ^. En posant

a = X -h t Y, -S = /(cosa -T- t sina),

on

«Jonc

et.

par suite,

u = Logr H- (a-i- 2A:7r) I,

^^S ^" désignant le logarithme arithmétique de r; A: est un entier '**^* t-raire. Ces valeurs en nombre infini sont les détermination» "*^Uîples déloge.

^i maintenant nous voulons considérer u comme fonction de 5, ^^s partirons d'un point z^ avec une de ces déterminations et ^^^ suivrons par continuité, comme nous Tavons fait au para- ^ï^îie précédent. On voit ainsi que la fonction log5 reprend la ^^*^^^e valeur quand z revient au point de départ san» avoir tourné . ^^^ur de l'origine. Au contraire, si le chemin partant de z^ re- •^t en ce point après avoir tourné une fois dans le »en» direct j ^ '^^-^ur de i origine, a© augmentera de 27: et par suite iog5 rcprcrisa valeur initiale augmentée de itA, fonction log:: a donc une infinité de détermination» qui peu- ,^^*^t s'échanger les unes dans les autres en tournant autour de mgine qui est un point singulier, ette fonction a une dérivée qu'il est facile de calculer; on a

ia8

ou

/ Aa e"Aw ( IH h. .

et, par suite,

,. Aa I '"" \z = eu =

Ainsi

du 1

dz z

j = As

11 en résulte que logz est bien une fonction analytique d aurait pu le voir en partant de l'expression (9) et rem que Log/' et a -[- 2kTz satisfont bien aux relations fondan

du __ dv du

dx "~ ày ày

dx

20. Considérons maintenant la fonction log(i + z). EH comme point critique le point 5= — 1. Soit (C) {^fig

cercle qui a pour centre l'origine et qui passe par ce po gulier A. A l'intérieur de (C), l'une quelconque des dét tions multiples de la fonction log(i 4- ;;) est uniforme etc( Si l'on choisit celle qui s'annule avec z^ on reconnaît fa( que sa détermination est logAP -\- /a, a désignant l'an deux directions Aa: et A P.

D'après le théorème de Cauchj, cette détermination e: loppable en série entière relativement a z^ pour tous les pc teneurs à C, et l'on obtient

log(H-^) =-— — -+-.. .--(i)n+I — -i

FONCTIONS D UNE VARIABLE COMPLEXE

Nous avons déjà étudié ce développement (Cliap. II, §22). Nous avons vu qu'il coïncide avec celui que Ton obtient pour z réel. Cette série est convergente dans tous les points de C sauf au point A; elle représente donc log(i + 5) pour tous ces points, et peut être prolongée analjtiquement dans tout le plan. En allant du point P à un point P' extérieur par deux chemins différents, on obtiendra pour log(i-|-5) la même valeur, pourvu que ces chemins ne contiennent pas dans leur intérieur le point A.

Soit M(i, 9) un point du cercle de convergence

z = cosO -h i sinO.

On

l0g(H- z) = log2 (cOS- )

et

cos6 -f- « siiiO f cosO -t- / siii6)5

ce développement étant valable pour toutes les valeurs de 0, sauf 0 =dt 7c. On en conclut les deux développements

log (^.

et

0 \ cosô COS2O