COS

Nous avons vu plus haut que la fonction u = logz a pour dé-

Fig. 18.

rivée -; elle peut donc être représentée par l'intégrale curviligne

r^dz

l3o CHAPITRE V.

le chemin qui va de ^o à ^ étant donné. SI l'on va du point A(^ ^om)

au point B{z) (Jig- i8) par deux chemins qui ne comprenne — z^rzil

pas i^origine, le résultat sera le même. Mais si Ton va de A en B

par deux chemins qui comprennent l'origine, tels que AMB <^t AM'B, on aura

Or la première intégrale est égale k lin : donc on a, en désigna^»^ not par u' la seconde détermination de i/,

U' = U -r- 'lÎTZ.

Si le contour AM'B faisait k fois le tour de O, on aurait

u' = u -r- a Ait:.

Nous retrouvons bien de la sorte les déterminations en nom! infini de la fonction \ogz.

20. La définition de la fonction z"* se déduit de celle de loj en posant

qui donne un sens à z"\ quel que soit m. On voit que la fonctE. z'^ a comme point critique le point 5=0, et, quand z loue" autour de l'origine, la fonction se reproduit multipliée par e**^" puisque log^ s'augmente de ^izi.

Considérons en particulier la fonction (1-4-5)'". Elle est dé loppable en série convergente en tout point intérieur au qui a pour centre Toriginc et qui passe par le point singul B z = — I. Considérons celle des déterminations de (i-h-s)** cj devient égale à 1 pour z = o. Elle sera, d'après le théorème Caucliy, représentée par la série

que nous avons déjà étudiée précédemment (Chap. II, § 23). sorte que cette série, qui représente (1 4- 5)'" lorsque z est réel, représente encore quand z est imaginaire et de module inférie

FONCTIONS d'une TARIABLE COMPLEXE. l3l

ÙL ë^ ^. Sur la circonférence de convergence nous savons que le développement est ou n'est pas convergent suivant la valeur de m.