Le développement de Tirrationnelle

v/i — 2aar-H a*

suivant les puissances de a se rattache à la question précédente. Bornons-nous au cas où x est réel. Cette irrationnelle est une 'Onction algébrique de a qui a deux déterminations. Choisissons celle qui, pour a = o, est égale à -j- i. Le rayon du cercle de convergence de son développement suivant les puissances entières ^^ 3c est évidemment égal au module de la racine du polynôme ' — a ax -h a^ qui est la plus voisine de l'origine.

Si |x| < I, les deux racines x±i^\ — x^ sont imaginaires et 'eur module, indépendant de x^ est égal à un. Le rayon du cercle "^ Convergence est donc aussi égal à un quel que soit \x\. Si '•^ I !;::> I, les deux racines sont réelles et le rayon du cercle de converg^jjçg variable avec | j: |. Dans les deux cas, on aura, pour tout P^"it a pris à l'intérieur de ce cercle, un développement conver- ^^^ ^ de la forme

coefficients X^ sont connus sous le nom de polynômes de ^S^sndre; X» est de degré n en x.

^---lierchons d'abord une relation de récurrence qui existe entre ^^^^ coeflicients X,, successifs. En posant

déduit, en dérivant par rapport à a,

Venons la dérivée n'*"* par ra|iport â a de» deux membre» de ^^^ ^ ^ égalité. En appliquant la formule bien connue qui donne \i% ^^ivée d'un produit de deux facteur», et en faisant a := o, on

l32 CHAPITRE V.

obtient

D^ailleurSy on a

/dny

et fmaiement la formule de récurrence cherchée est

(12) (n-h i)Xn-»-i— (in-hi)x\n'¥- n\„i = o.

On en déduit que X^ est un polynôme de degré n en x : 1

premiers sont

Xo= I) Xi = a".

Pour x = -h I , on a X^ = i . Pour x = — 1 , on a X,, suivant que n est pair ou impair.

Ces polynômes jouissent de toutes les propriétés des fo de Sturm, comme on le reconnaît immédiatement. Pour x la suite des polynômes Xq, X|, ..., X„ présente manifeî n variations. Pour x = -{- 1, elle n'en a plus; donc, x crois — I à -h I , la suite a perdu n variations ; donc X„ a passé a par n racines; et comme ce polynôme est de degré /i, ses n sont comprises entre — i et -}- i .

Pour établir maintenant Tidentité, à un facteur près, de nomes X;, avec les polynômes que nous avons déjà étudie p. 16), il suffira de démontrer que l'intégrale

f f{x)\ndx *- — 1

est nulle lorsque y(;r) est un polynôme arbitraire de degré égal k n — 1 . Nous nous servirons à cet effet d*une seconde 1 obtenue en dérivant par rapport à x les deux membres c On a

dv

-f-{\ — lux -{- CL^) = ar ôx ' ^

oi, en comparant avec (n),

(a: — a)f- =af-; dx doL

FONCTIONS d'une YARIABLB COMPLEXE. l33

d'où la relalion cherchée

(II) xx;,— x;, = /iXn.

Multipliant les deux membres par x^dx et intégrant de — i à 1 , il vient

/»-»-i r»-»-i r»-Ki

n I x'f*Xndx=^ I xfn-i-iX'n dx -- j X"'X',i.^dXj

d'où, en intégrant par partie,

n I X^^Xndx =[x'^(xXn—Xn-i )]t\

— (mn-i) / x'"Xndx-hni j x'*^-^Xn^idx.

Or (jtX,, — X„i) est nul pour les limites -h i et — i : donc finalement

(i4) / x"*Xndx = / x'^-^Xn-xdx.

J i ni-^ n-\-\ J^

On a d'ailleurs

Xo€^ = 2, / Xndx = o (/i = i).

Le résultat est maintenant immédiat : si m est ^n — i , l'intégrale (i4) se ramène à une intégrale de la forme

/ Xndx (/ïsl)

et est nulle. Il en est de même de l'intégrale

/ /{x)Xndx,

où/{x) est un polynôme arbitraire de degré ^/i — i. Donc X« satisfait à l'identité

l34 CHAPITRE T.

OÙ A est une constante dont on trouve facilement la valeur

'2 . 4 • ti . . . 'A /t

22. Parlons enfin, pour achever rénuméraiion des fon élémentaires, des fonctions circulaires inverses. La fonction

u — arctang;:

sera définie par Téquation

tangu = z.

On peut trouver aisément l'expression générale de //, ei plaçant tang^/ par sa valeur en fonction d'exponentielles

donc

et enfin

® cosa *(e«'-+- e"') i(e*«'-M)

l -h Zl l — 3

og- = ^ -\ Aos ••

•Il ^ l-^Z 1 II ^ z — i

La fonction arctang^? se ramène donc à la fonction log mique. Ses points singuliers sont :; =4- / et :; •= — 1. On définira d'une manière analogue la fonction

par Téquation qui donne

ou

et par suite d'où se conclut

u = arcsin^ sinw = z,

<.îM/|. izie"^ — I = o,

La fonction arcsin^ s'exprime donc à l'aide de la fonction rithmique.

FONCTIONS D UNE TARIABLE COMPLEXE

23. Nous ne nous sommes occupé jusqu'à présent que des développements suivant les puissances entières de la variable. On peut, dans certains cas, par un simple changement de variable, développer une fonction sous une forme différente. L'exemple suivant est relatif au développement d'une fonction en série d'exponentielles.

So'xl /(z) une fonction uniforme et continue de 5 à l'intérieur d'une aire définie par deux parallèles à 0^'. On suppose que cetlc fonction est périodique, l'amplitude de la période étant 2tzi\

de sorte que la valeur de la fonction au point A (Jig- 19) est la

Fig. 19

jr-

fl î

même qu'au point B, si le segment AB parallèle à O^ est égal à aniz, n étant un entier quelconque.

Posons

et cherchons quelle est dans le plan des z' {fig- ao) la région qui correspond à la bande, indéfinie dans les deux sens, comprise

entre les parallèles MP et NQ. Soit ^ == « Téquation de la droite

l36 CHAPITRE V.

AB; l'affixe d'un quelconque de ses points est et le point correspondant du plan des z' est

c'est-à-dire qu'à la droite AB correspond dans le plan des z' circonférence de rayon e^ et de centre O'. Il s'ensuit qu'à \ MNPQ correspond l'aire limitée par les deux circonférences ( centriques qui correspondent aux parallèles MP et NQ.

La fonction /(-s) va devenir une certaine fonction ©(5') unifo et continue dans l'espace annulaire compris entre ces deux conférences. Elle sera par conséquent développable dans c région par la formule de Laurent

Par suite f{z) sera représentée dans toute la bande MNPQ la série

Si, au lieu de supposer la période égale à 2/7:, on supposait amplitude égale à a, et que l'aire soit limitée par deux droites rallèles à celle qui joint le point z au point z -f- a, on obtien< l'expression

ImiTlZ

W n — ao