IV. — Sur les produits convergents

24. Quoique nous devions faire peu d'usage de la représenta des fonctions sous forme de produit, il ne sera pas inutile • diquer quelques propositions générales relatives aux produits vergents. La théorie des produits convergents ne présente d'ail) aucune idée nouvelle, puisque la convergence d'un tel produ ramène toujours à la convergence d'une série.

FONCTIONS D*UNE VARIABLE COMPLEXE. iSj

Nous commencerons par démonlrer le théorème suivant :

Le produit

( I -f- ai ) (i -H aj ) . . . ( I -H a^ ) . . .

sera convergent si la série

I «i I -h I rt j ' -h . . . -+- 1 «rt I -+- . . . est convergente.

Nous pouvons supposer que | a„| <C i , quel que soît /i, puisque nous pouvons laisser de côté des facteurs nécessairement en nombre limité où cette condition ne serait pas remplie.

Ceci dit, supposons d'abord les a réels. Le produit sera convergent, si la série

logd -f- ai)-H lof;(i + aj )-+-.. .-{- log(n- «/,)-!-...

es l convergente. Désignons paré les termes positifs et par — c les termes négatifs parmi les a. La série

log(i -^ 6| )-T- logd -h 6î)-h. . .-+- log(i -h 6«)-f-. . .

sera convergente, car log(i -h-r)<Ix quand x est positif. Pareillement, la série

l0g(l — c, )-l-...-h l0g(l — Crt)-f-. ..

sera convergente, car on a

log(i — c„) = — -— -^, o<e<i,

I — OCrt

or le facteur — tend vers un : la série convergera donc puisque

la série de terme général Cn est convergente. Passons maintenant à la série

les // étant complexes. Soit Un= a,i-\- bni\ les séries l^\an\ et S|6rt| sont convergentes par hypothèse. Le carré du module de (i + Un) est

l38 CHAPITRE V.

La série de terme général

converge évidemment; par suite le module du produit tend V( une limite. Passons à l'argument; celui-ci est pour i -t- i/«

arcsin

et il faut montrer que la somme des arguments a une limite déterminée. Or cet arcsin est comparable à 6„, ce qui rend évident le résultat que Ton veut établir.

25. Passons maintenant aux produits convergents représenta rB t une fonction de z. On considère le produit

(i5) [n-/i(-)]liH-/,(5)]...[i-h/;.(5)]...;

les fonctions /i (5), ...,//i(^)? ••• ^^^^ ^^^ fonctions uniforn»^^ et continues dans le même cercle G de convergence. On suppôt ^ de plus, en représentant d'une manière générale par

FKZ) (Z = |5|)

la série obtenue en remplaçant dans fi{z) chaque terme par s module, que la série

F|(Z)H-F,(Z)-h...-hF,i(Z)-f-...

converge quand Z est inférieur au ra^on du cercle C.

Dans ces conditions nous voulons montrer que le produit (■ représente une fonction holomorphc de z à V intérieur de C-

Considérons d'abord le produit convergent

P(Z) = [n-Fi(Z)][in-F,(Z)]...[i-hF«(Z)]....

Soit P/i(Z) le produit des n premiers facteurs; nous pourro mettre P/i(Z) sous la forme

Prt(Z) = A;-4-A7ZH-...-f-AJ,Z'«-»-...,

A^ étant une constante positive. Or P,|(Z) est plus petit que P(^ -^ '

donc tous les termes

FONCTIONS d'une VARIABLE COMPLEXE. 189

sont moindres que P(Z). Mais quand n augmente indéfiniment (/» restant fixe) les A^ augmentent. Par suite A^ pour n = cc lead vers une limite que nous désignerons par Aw Ceci dit, remarquons que Ton a

P«(Z) > AJ -:- AîZ -f-. . .-- A« Z'"

(en ne prenant que m termes); donc, m restant fixe et n augmentant indéfiniment, P(Z) est au moins égal à

Ao-4- A,Z-H...-4- A,„Z'".

Puisque la somme des m premiers termes de la série

(-) Aq-I- A1Z-I-. . .-h A/;|Z'"-f-. . .

est ixioindre que P(Zi), on en conclut que cette série (2) est convergente et a au plus V{Tj)pour limite. D'autre pari, on a

P/i(Z)<Ao-4-A,Z-f-.. -+-A,„Z'"H- ... ^n a Jonc les inégalités

P„(Z)<Ao-T-...-+- A,„Z'"-4-...<P(Z), ^^ 9 €41 établit que la série (2) a P{Z) pour limite.

^ous allons maintenant achever aisément la démonstration. En

P^'^^^ant le produit des n premiers facteurs dans le produit (iT)), on u

Q„(5) = aj -4- a'fz--. . .-f- a'/„ ;;'« — ... :

m ^st une somme de termes complexes; pour /i = oc, c'est la **^iiie des termes d'une série pour laquelle la série des modules Convergente; nous aurons donc une limite pour a^,, soit a/». ^ Série

^^^rgera manifestement, et ^(5) coïncide avec la valeur Q(^) du r ^cltiit convergent (i5); on le voit de suite en remarquant que

|(p(s)-Q„(ij)|<P(Z)-P«(Z);

Or 1

^ second membre de cette inégalité tend vers zéro. 11 en ré-

^ '-^ bien que (f{z) est égal à la limite de Q«(w), c'est-à-dire à

^^^y^ Ce produit convergent est donc mis sous la forme d'une

l4o CDAPITRE V.

série entière dans le cercle C cl la proposilion énoncée est complètement établie.