V. — Décomposition en facteurs des fonctions uniformes
26. La décomposition d'un polynôme en un produit de facteurs linéaires est la proposition fondamentale de TAIgèbre. Considérant une fonction G(w), uniforme et continue dans tout le plan, on a cherché pareillement à décomposer G{z) en un produit de facteurs qui mette en évidence les racines de cette fonction. Caucbj y est arrivé dans des cas étendus, mais sans pouvoir toutefois traiter la question dans toute sa généralité. C'est à M. Weierstrass que Ton doit d'avoir étendu aux fonctions G(3), que nou& appellerons avec lui /onctions entières, le théorème fondamentaL de l'Algèbre. Cet admirable résultat est le point capital du M^ — moire de l'illustre auteur que nous avons cité plus haut (*).
Soit une suite de quantités
^1» ^1» • • • » ^/i» • • • > rangées par ordre croissant de leurs modules et telles que
hin — =0.
Si plusieurs de ces quantités ont même module, on rangera 1 quantités de même module dans un ordre arbitraire. D'après définition même du mot limite, il est clair qu'étant donné u nombre quelconque II il n'y a (ju'un nombre limité de valeu des a dont le module soit inférieur ù R.
Ceci posé, nous allons montrer qu'o/? peut former une fonctio entière G(w) ayant pour racines les quantités a et celles^ seulement. Si plusieurs quantités a sont égales, la racine sera d'us degré de multiplicité égal au nombre de fois que figure cettquantité.
27. Une remarque préliminaire nous sera indispensable. Soi une série
(') On trouvera une truduclion de ce Mémoire dans les Annales de l*Éco^ Normale supérieure (1879).
FONCTIONS d'une VARIABLK COMPLEXR. 1^1
dont les termes sont des séries enlières convergentes dans un cercle C de ravon R avant l'origine pour centre. Désignons par
la série obtenue en remplaçant dans/,^(-3) chaque terme par son module. On suppose que la série à lermes positifs
(17) Fo(Z)-+-F,(Z)H-...-hF„rZ)-f-...
soit convergente pour Z <C R. Dans ces conditions, il est manifeste que la série (i 6) sera convergente dans le cercle C, et sera susceptible de se mettre sous la forme d'une série entière convergente dans ce même cercle; on peut, en effet, dans la série (i6) modifier l'ordre des termes, puisque la série des modules de tous les lermes, représentée par (i^) est par hypothèse convergente.
28. Ceci posé, laissons de côté celles des quantités a qui pourraient être égales à zéro, et considérons Texpression
Si l'on suppose que | z \ soit inférieur à | a^ |, nous pouvons envisager
log Wv = log ( I — — ) -f- — -h - ( — ) -h ... H ^ ( — ) ,
log f I — — j représentant une fonction uniforme et continue dans
le cercle de rayon | «v I et s'annulant pour ^ = o. On aura, par suite,
d'où Ton conclut
Nous voulons maintenant montrer que le produit infini
( l8} M| Wj . . . li, . . .
est convergent et représente une fonction entière de :; s*annulant
pour
V élant un entier quelconque. A cel eflet, montrons que le pi"^> (luit (i8) représente une fonction uniforme et continue de 5 d le cercle de rayon Oy. Laissant de côté les facteurs en nombre mité correspondant à des valeurs des a de module moindre que nous avons
