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- 2 \-„i~-j'*'^nll^Tj

I^a convergence du produit sera rétablie, si nous montrons qu

série

la

/i — oe

yr'/^)"..j(±,"". ...]

est convcrgenlc pour | z

Nous avons là une série dont chaque l(M'me est lui-même urie >rric ordonnée suivant les puissances de z; or on a

Il i- I

fin

Nous devons montrer, pour pouvoir appliquer le lemme du pa»" raplie précédent, que la série dont le terme général est

ft

est convergente. Il en est ainsi, car le rapport d'un terme au pr< cèdent est

<'/i-Kl

: ^'/l-hl

([ui tend vers /.éro à cause du (acteur

<hi , 1

FONCTIONS D^UNB VARIABLE COMPLEXE. l43

^ous sommes donc assuré que la série (19) représente une foncion holoraorphe dans le cercle de rayon | fly |« Le produit (18) rerésente donc une fonction de z holomorphe dans ce cercle; celle onction s'annule pour

ai, a,,

îl «lie n'a pas d'autres racines dans ce cercle.

T-.'enlier v est d'ailleurs absolument arbitraire. On en conclut donc bien que le produit

Ul 11^ ... Uy . • .

eprésenle une fonction entière de z ajant pour zéros les valeurs 'onnées et celles-là seulement. Les facteurs u ont été appelés par '• ^^eierslraiss facteurs primaires; on voit que, outre le facteur

'^«^iâîre (1 — — j, le facteur primaire Uy contient une exponen-

'*le . C'est la présence de cette exponentielle qui rend possible la '^ v-^rgence du produit infini formé avec les facteurs u. Dans le * où 5 = 0 devrait être racine multiple d'ordre X, on mettrait z^ cteur devant le produit trouvé.

. Nous venons de nous placer dans le cas le plus général, s certains cas particuliers, il sera possible d'emplojer des facs primaires un peu plus simples. Ainsi, supposons que la série ' terme général

^^ant un entier déterminé, soit convergente. On pourra prendre

'™ le voit de suite, en se reportant à Tanaljrse précédente : la série ^*^t on a alors à montrer la convergence se réduit à la série de -'''ï^e général

On

l44 CHAPITRE V.

dont la convergence est évidente d'après l'hypothèse faite plus haut.

30. Une première conséquence bien remarquable déduite par M. Weierstrass du théorème précédent est relative à la forme d'une fonction /(;5) uniforme dans tout le plan et n'ajant à dislance finie que des pôles.

On peut, en effet, former une fonction entière G{z) ayant pour racines les pôles de f{z) et avec le même degré de multiplicité;

le produit

Az)G(z)

sera alors une fonction entière G| (z), et l'on aura par suite

/{ z) peut donc se mettre sous la /orme d'un quotient de deux fonctions entières. On remarquera que les fonctions GetGi, obtenues par les considérations précédentes, n'ont pas de racines communes, caries racines de G(z) donnent au produit /(.g) G (5) des valeurs finies et différentes de zéro.

*M. Si au lieu d'une Succession de points

(•20) «i, Ctj, ..., Ct/i, ....

s'éloignant à l'infini, on a des points pour lesquels

lim aA= cty «=•

on pourra former une fonction ayant pour point singulier essentiel

le point a et les racines «1, a2, ..., ««, Il n'y a en effet qu'à

prendre pour facteur primaire

i'-'Bi)

et il n'y a rien à changer au raisonnement fait plus haut pour établir que le produit converge pour toute valeur de z différente de a. On suppose, bien entendu, les a disposés dans un ordre tel que I a/2 — a | ne croisse pas avec n, La fonction ainsi trouvée sera

FONCTIONS d'une VARIABLE COMPLEXE. l45

une fonction entière de ;; ? et, en désignant d'une manière gé-