A» "~^ CL

nérale par G(5) une fonction entière de z^ on obtient de cette

manière une fonction

ajant comme unique singularité le point essentiel a et les zéros donnés par la série (20).

32. On peut bien aisément généraliser le résultat précédent (*), en rétendant aux fonctions uniformes, continues pour tous les points du plan, à Texception de ceux qui sont situés sur une ciroonférence G de rayon R et dont le centre est à Torigine.

Soit une suite de quantités

^21) Al, Aj, . . ., A,i,

telles que, en posant A„ = p/ie'*«, p« étant le module et a„ Targu- . ment, on ait

et de plus

lim prt= R.

Nous allons montrer qu'on peut former une expression, dépendant de z^ uniforme et continue dans tout le plan en dehors de la circonférence, qui représentera une fonction analytique de 5 à l'intérieur et à l'extérieur de la circonférence et s'annulera pour tous les termes de la suite (21).

A la suite (21), associons une seconde suite

représentant des points situés sur I4 circonférence C et telle que

lim (A« — B„) = o.

Ce choix peut être fait d'une infinité de manières; il en est une

(') É. Picard, Sur la décomposition en facteurs primaires des fonctions uniformes ayant une ligne de points singuliers essentiels ( Comptes rendus, 3i mars 1881 ).

P. — II. fO

1^6 CHAPITRE y,

immédiate obtenue en faisant Ceci posé, on prendra la fonction

«(^)=nî^^*-'*'

en posant

La démonstration de la convergence de ce produit infini es immédiate. Écrivons en effet le facteur primaire sous la forme

Pour un point donné z qui n'est pas sur la circonférence, non considérons les facteurs primaires à partir du rang v tel que

ce qui est possible, puisque le second membre de cette inégalit tend vers zéro avec -• On peut alors mettre Un sous la forme

tout à fait analogue à celle que nous avons obtenue dans le cas d seul point singulier a. Il ne reste plus qu'à montrer que la séri

représente une fonction analytique de z dans l'une et l'autre régio du plan où

\z — Bn\>\K—^n\ (n = v,v-i-I, . ..,«).

On pourra prendre pour une de ces régions l'intérieur d'un cercle ] décrit de l'origine comme centre, dont le rajon convenablemeo choisi sera moindre que R, et pour l'autre l'extérieur d'un cercle I

FONCTIONS d'une VARIABLE COMPLEXE. 1^7

donl le rayon sera supérieur à 11. Ces deux circonférences sont d'ailleurs bien évidemment d'autant plus rapprochées de la circonférence C que V est plus grand.

11 nous suffira de supposer z dans le cercle F. Chaque terme de la série (22) est une fonction analytique continue dans ce cercle. De plus, développons le terme général

n\ z — iiu / n-^iXz — Bn /

suivant les puissances de z et voyons ce que devient ce développement quand on remplace chaque terme par son module. Or, quand on développe en série un terme quelconque de la suite précédente, et qu'on remplace chaque terme par son module, on obtient le développement de ce terme où A„ — B^, z et B^ ont été remplacés par leurs modules. On a donc, en employant les notalions du lemme (§ 27)

et, par suite,

^'*^^^<n (R-Z)« ~^n (R-Z)«-Hi '^'"

^ I \Xn-Bn\" I

n (R-Z)'» \Xn-Bn\'

Il n'y a plus rien à changer à la suite du raisonnement : on voit de suite que la série de terme général Ffl(Z) est convergente, et, par suite, d'après le lemme, l'expression (22) est une fonction analytique dans le cercle F. On verrait de la même manière qu'elle jouit de la même propriété à l'extérieur du cercle F.

D'ailleurs, comme nous l'avons dit, ces deux cercles, si l'on prend v assez grand, sont aussi rapprochés que l'on veut du cercle C. Le produit convergent G{z) représente donc une fonction analytique et continue de z à l'intérieur et à ^extérieur du cercle C; il a de plus pour racines les points de la suite (21).

Il est clair que si la série de terme général

l4B CHAPITRE Y.

p étant un entier fixe, est convergente, on pourra prendre comme facteur primaire

Z — ha

en posant

On remarquera qu'en général l'expression précédente représentera deux fonctions analytiques distinctes à l'intérieur et à Textérieur de C, c'est-à-dire que les deux fonctions ne seront pas le prolongement analytique l'une de l'autre (Chap. II, § 18). Zra circonférence pourra être pour la fonction une ligne de points singuliers essentiels. Nous sommes ainsi conduit au type de fonctions, dont nous avons déjà indiqué quelques exemples (Chap. II, § 18), pour lesquels le prolongement analytique n'est pas possible au delà d'une certaine courbe.