Indiquons deux exemples très simples. Soit R = i; posons
\n = h— -je « [A = o, I, ...,(/i — I)].
On aura, sur le cercle de rayon i > /i points A formant les
sommets d'un polygone régulier. Quand /t augmente indéGniment, on a ainsi une suite de points tendant vers la circonférence de rayon un. Nous prendrons, comme point B„ correspondant à Aj,
le terme A,, —
B,| sera donc
Ikiiz
en
et, par suite.
Fit
et il ne faut pas oublier que n racines de même module correspondent à l'indice n. Cherchons s'il y a une puissance p telle que
la série
FONCTIONS D'uNB VARIABLE COMPLEXE. 1^9
soit convergente. Cette série peut s'écrire
/l=:ao
P^**squ'il y a /z termes pour lesquels | A« — B„| a la même va- ^^f -• On pourra donc prendre
y? = 3, ^^ le facteur primaire sera
La fonction représentée par le produit de ces facteurs ne pourra ^^rtainement pas s'étendre au delà du cercle de rayon un, car ^^ns le voisinage de tout point du cercle elle a une infinité de racines, ce qui est incompatible avec la possibilité d'une extension ^laaly tique.
Je donnerai un second exemple où le choix des quantités B sera «^Eiit d'une manière différente. Supposons que l'expression générale ^es racines soit
b -r- c — (a — cl)i
«a, 6, Cj d étant quatre entiers réels satisfaisant à la relation <3rf — 6c = 1 ; on a ici R = I . ' '
Nous prendrons B = . , .; le point B est bien sur la circonférence de rayon un et Ton aura
La série multiple dont le terme général est | A — B 1^, a, 6, c, d pouvant prendre toutes les valeurs entières possibles satisfaisant à la relation
ad — bc = \y
est convergente : c'est ce que l'on reconnaît en considérant à la place de la série une intégrale triple convenable dont la valeur reste finie quand les limites deviennent infinies. On pourra, par
l5o CHAPITRE V.
conséquenl, poser
le signe rT indiquant le produit de tous ces facteurs correspondant à toutes les valeurs entières de a, b, c, d qui satisfont à la relation ad — bc = \ ,
34. Revenons à la décomposition d'une fonction entière en facteurs primaires. Nous nous sommes donné les racines, et nous avons obtenu une fonction entière G (z) ayant ces racines. Toute autre fonction entière G| (z) ayant les mêmes racines avec le même degré de multiplicité sera telle que
sera une fonction entière '^(z) ne s^annulant pas. Or, dans ces conditions ; — — sera encore une fonction entière; donc
H (3) représentant une fonction entière. Par suite on a
Dans la pratique, pour une fonction donnée G| (w), la recherche de la fonction Vi{z) et l'étude de ses propriétés pourra présenter bien des difficultés. Ainsi, soit la fonction sin.:; ses racines sont données par
n étant un entier positif ou négatif. Nous pouvons former une fonction G(:;) a^ant ces racines; ce sera
'fK-n.)-"^'-
le produit I I étant étendu aux valeurs entières positives et négatives de w, k Texclusion de /i = o. On peut, dans le cas actuel, simplifier beaucoup en groupant deux à deux les facteurs correspondant à des valeurs de n égales et de signe contraire. Ce
FONCTIONS d'une VARIABLE COMPLEXE. iSl
groupement est d'ailleurs celui auquel conduit l'application de la méthode, puisque, les racines étant rangées par ordre croissant de modules, les deux racines 4- ntz et — mzse suivent nécessairement. On obtient ainsi
il en résulte que
sin5 = G(;:)eH( = '.
Quant à la détermination de la fonction entière H(5), elle ne peut résulter en rien de la théorie précédente. Nous verrons dans le Chapitre suivant que H (5)= o.
35. Delà décomposition de la fonction désignée d'une manière générale par G (3), on conclut un développement de la dérivée
logarithmique
G(z)' on a
Ciz\
Nous obtenons donc ainsi un développement de -777—7 en une
série de termes rationnels en z. Cette fonction a pour pôles simples les points
et le résidu correspondant à chacun de ces pôles est -{- i .
Ce résultat conduit à se poser une question plus 'générale. En se donnant les points singuliers (pôles et points singuliers essentiels isolés)
ai, aj, ..., an, ..., lima;, = 00,
et pour chaque point singulier On la portion
\z — an]
(G/i étant une fonction entière donnée) qui, dans le voisinage de
z = a,t, ne sera pas holomorpbe, peul-on former une fonction y(^) ayant les points a comme points singuliers, et telle que
soit holomorpbe dans le voisinage de a,i? Il en est bien ainsi, comme Ta montré M. Mittag-Leffler; nous nous contenterons d'énoncer ce beau tbéorème, renvoyant pour la démonstration au Cours d'Analyse de M. Hermite (4* édition, Hermann; 1891) où Ton en trouvera de nombreuses applications.
La décomposition en facteurs primaires d'une fonction, pouvant avoir une ligne de points singuliers essentiels, dont j'ai donné le premier exemple en traitant le cas de la circonférence, conduisait à une question analogue relativement au cas 011 les points singuliers peuvent tendre vers les points d'une ou plusieurs lignes. M. Mittag-LefHer, s'inspirant toujours de la même idée, a traité ce genre de questions dans toute sa généralité; nous renverrons à son remarquable Mémoire où l'on trouvera le développement complet de cette théorie ( * ).
36. Nous terminerons ces généralités en indiquant un théorème élégant dû à M. Painlevé (2), et qui se déduit de la formule fondamentale de Cauchy
Supposons que le contour C limitant l'arc S soit convexe; de plus admettons qu'on puisse, en chaque point M de ce contour, tracer un cercle tangent en M au contour et le comprenant à son intérieur; la' position du centre de ce cercle variera d'une manière continue, sauf aux points anguleux s'il y en a. On vérifie sans peine que la construction de ces cercles est possible si, en
C) G. Mittao-Leffler, Sur la représentation analytique des fonctions monogènes uniformes d'une variable indépendante {Acta mathematicat t. IV; i884). On consultera aussi avec un grand intérêt, pour tout ce qui concerne ces généralités, le Mémoire de M. Painlevé : Sur les lignes singulières des fonctions analytiques {Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse^ 1888).
{') Voir le Mémoire que nous venons de citer (p. 85).
F0?fCT103iS D*U5E VARIABLE COMPLEXE. l53
chaque point d*un contour convexe C, la courbe a un contact
simple avec sa tangente. M étant donc un point quelconque du
contour, soit F le cercle tangent à C en M. Désignons par z Taffixe
de M, para Taflixe du centre de F; nous aurons, x étant intérieur
à Sy
Faisons parcourir au point M la courbe C, a variant avec* z d'une manière continue (sauf aux points anguleux de C). La
série A(z) converge sur C uniformément et représente -■■ -• Kn
remplaçant donc par ce développement dans la formule do
Cauchj, il vient
P„(x) désignant un poljnome en ;r de degré /*. Nous sommes donc conduit à ce théorème :
Toute /onction holomorphe dans une aire limitée par un contour convexe peut être développée dans cette aire en itnr série de polynômes ( * ).
(') Voir, dans un ordre d'idées analo^iici, le .Mrmoin* «li* M. Apprll Sur Irn développements en séries dans des aires limitées par des arcs dr cerclr ( Acla mathematica, t. I).
l54 CHAPITRE VI.
APPLICATIONS DES THÉORÈMES GÉNÉRAUX DE CAUCHY SUR LES FONCTIONS D'UNE VARIARLE COMPLEXE.
I. — Recherches de quelques intégrales définies. Dévelopi>ement
en séries de fractions rationnelles.
l . Cauchy a donné de nombreux exemples de recherches d'intégrales définies effectuées à Taide de ses théorèmes généraux, particulièrement du théorème sur les résidus.
Prenons tout d'abord le cas très simple de Tintégrale
P et Q désignant des polynômes. On sait que cette intégrale aura un sens si le polynôme Q(x) n'a pas de racines réelles, et si le degré de P est inférieur d'au moins deux unités à celui de Q.
Dans le plan de la variable complexe z = x -î-yi, considérons la partie supérieure correspondant ày > o, et traçons dans ce demiplan une demi-circonférence de très grand rayon / ayant l'origioe pour centre. Celte demi-circonférence, avec son diamètre, limite une certaine aire; nous pouvons appliquer le théorème des résidus à l'intégrale
on a ainsi
XK désignant la somme des résidus relatifs aux différents pôles de
APPLICATIONS DES THÉORÈMES DE CAUCHT. Id5
T-rJ — - contenus dans la partie supérieure du plan. Or, quand /
augmente indéfiniment, la seconde de ces intégrales tend vers zéro, puisque, en posant z = q e^', le degré de P{z) dz en p est inférieur d'au moins une unité à celui de Q(^). On aura donc
il suffira de calculer les résidus de ^, , correspondant aux différents
pôles situés au-dessus de Ox,
Voici un second exemple tout aussi élémentaire. Soit à calculer rintégrale
/ f(sinXyCosx)dXy
/étant une fonction rationnelle de sinjc et cos.r. Si l'on remplace sinx et cosx par leurs valeurs
smx = : y cosa? =
et si Ton pose
on aura Tintégralc
j¥{z)dz,
F (5) étant une certaine fonction rationnelle de z. Quand x varie de o à 27r, le point z décrit la circonférence de rayon un; l'intégrale précédente doit donc être effectuée le long du cercle de rajon un. On aura sa valeur en appliquant le théorème des résidus.
Soit, par exemple, à calculer par cette méthode
r^'' dx
J^ C0SJ7 -^ a
fc*n posant cosx = et e^^= Zy elle se réduit a
dz
2 r dz
^ Je ^*"^ '^^-^ "^ '
Des deux racines de 5^ -h a a>5 4- i , une seule 5 =: — a -H >Jo^ — 1 est comprise à Tintérieur du cercle C de rayon égal à f//i, et le résidu correspondant à cette racine est
d'où Ton conclut
