SIC

dx

cosx

[ail ait

2. Les intégrales précédentes se calculent de suite par des méthodes élémentaires. Voici d'autres cas où la recherche directe de l'intégrale est plus difficile.

Prenons l'intégrale

~" sinx

dXy

(|ue nous avons déjà étudiée (t. I, p. 34)- On peut la remplacer par l'intégrale

r sin

dont la valeur est évidemment double.

Or considérons l'intégrale

e^-dz

eirecluéc le long du contour suivant. On trace dans le demi-plan

supérieur un demi-cercle y d'un très petit rajonOB et un demicercle r d'un très grand rayon OA {^fig^ 21). On intègre le long

du contour formé par A'B', le demi-cercle y> ^^ droite BA et le demi-cercle F. Celte intégrale est nulle, puisque la fonction — est

APPLICATIONS DES THÉORfeiES DE CAUCHY. 1 57

continue à l'intérieur de Taire. Quand le rayon de F augmente indéfiniment, l'intégrale correspondante à ce demi-cercle tend vers

zéro, car, en posant

^ = R(cosO -f- tsinO),

on a

et l'on voit que l'intégrale est nulle pour R = oo, puisque sin8 >• o. Prenons maintenant l'intégrale le long du demi-cercle y. On aura

r^^î^ = r e-Rtlnôe/Rcosef^ô,

et pour R = o, cette intégrale sera égale à — Tzi,

Il reste les intégrales le long de A'B' et le long de BA : les parties réelles se détruisent. Finalement on obtient, en passant à la limite,

l ?i\TïX

dx — iT e = o,

d'où se conclut

*9,\nxd.r 11 •À