Soit encore à calculer l'intégrale

xsmmx . , ^ ^

dx ( /// > o, ^ > o ),

qui est une généralisation de la précédente. On va considérer l'intégrale

dz

effectuée le long du périmètre d'un demi-cercle tracé dans le demiplan. On voit, Comme plus haut, que l'intégrale le long de la demi-circonférence tend vers zéro quand le rayon augmente indéfiniment, et il reste comme valeur de l'intégrale le long du contour

t I —- ~ûte.

l58 CHAPITRE VI.

D'aulre part, dans le demi-plan supérieur, existe le seul pôle z = aij dont le résidu est

On a donc la formule

T9.inmjr ,

qui, pour a = o, donne le résultat du paragraphe précédenl.

4. L'intégration de la fonction e '•* le long d'un contour convenable conduit à des résultats intéressants.

Menons (Jig' 22) au-dessus de Taxe des x la demi-droite OB,

Fi g. y.-

faisant avec Ox un angle a inférieur àj» el décrivons avec un rayon OA Tare de cercle AB. On a

/ e-^' dz = o,

rintégration étant faite le long de OABO. Or, quand le rayon du

cercle augmente indéfiniment, l'intégrale le long de AB tend vers zéro; en effet, en posant

z = H(cosO -h/sinO),

cette intégrale prend la forme

or le produit

(l) R^-R«co.jO^

6 variant deoàa, («< j)> tend vers zéro quand R augmente indé-

APPLICATIONS DES THÉORÈMES DE CAUCHY. i5g

fiDÎment. On aura donc

dans la première intégrale ^ va de o à oo sur Taxe réel, dans la seconde z va de o à oo en suivant la demi-droite OB. Or le

premier membre est égal (t. I, p. io4) à -y/Tt : par suite on a

r e-p«(co8îa+i.inîa) ( cos a H- i sinoL)dp= - v/îr. Cette relation qu^on peut mettre sous la forme (a) / e-p'c«"*[cos(p*sin2a)— £sin(p«sin2a)](cosa-h «sina)rfp = -/r,

fait connaître les valeurs des deux intégrales

(3) / e-p'«o«**cos(p*sin2a)ûfp, / ^-p'«o*««siD(p«sin2a)rfp :

J^ ne m'arrête pas à les écrire. Le cas le plus intéressant est *^ cas limite de a=: -; a priori il n'est pas rigoureux de faire

"directement dans la formule (2) a=-, cette formule n'ayant

^%é établie que pour a<[ j> puisque pour 9 = t l'expression (1)

K^e tend pas vers zéro pour R infiniment grand.

Le résultat est cependant exact, et la raison en est que les deux i witégrales (3) sont des fonctions continues de a, quand a est in/é-

^^ieur ou égal à -• C'est ce que l'on peut établir en considérant la

Ciourbe

y = c— **'^*'**«sin(a7«sin2a)

c^ui se compose d'une infinité de branches alternativement au-dessus ^t au-dessous de 0^7, de sorte que la seconde des intégrales (3) ^e trouve représentée par une série à termes alternativement positifs et négatifs : c'est ce que nous avions déjà vu (t. I, p. 26)

pour le cas de a = -7 • Or le reste, dans une telle série, est moindre

iGo OIAflTBE VI.

en valeur absolue que le deniier terme conservé, et ce terme est évidemment une fonction continue de z, pour 2 inférieur ou égal

à ^' Par suite, la série est elle-même une fonction continue des

dans les mêmes conditions. On raisonnerait de même pour la première des intégrales (3).

Faisons donc a = 7 > dans la formule (2) : il vient ainsi

Jf cosx^cfx = I sinar'cir = -|/- •

5. Une application d^un caractère plus général du théorème des résidus nous sera fournie par la méthode de Cauchy pour le développement d'une fonction en une somme d^une infinité de termes rationnels.

Soit f{z) une fonction uniforme dans toute Tétendue du plan, et n^ajant pour points singuliers que des pôles. On considère un contour fermé C, qui va sMlendre indéfiniment dans tous les sens. L'intégrale

•XTZl ,J Z — X

|)rise le long de C, x désignant un point quelconque à Tintérieur,

s<;ra égale ù

fiz) \\{x) désignant les résidus de 7—^ par rapport aux différents

pùlcs A^fi^z) contenus dans C.

llcmurquons d'abord que ces résidus sont des fonctions rationnelles de X : car, dans Tentourage du pôle 5 = a, f(^z) étant représenté par un développement de la forme

le résidu do * ** > relatif à ce pôle, est

yx — «)*« (j- — a)

APPLICATIONS DES THÊ0R6MES DE CAUCHY. l6l

Cela posé, effectuons le développement de -— — en nous arrêtant au premier terme : l'intégrale (4) pourra s'écrire sous la forme

1 r/i£)^,^£ /'/(3)(iH-£)

dZf

c tendant vers zéro quand \z\ augmente indéfiniment, et finalement on aura l'égalité

le signe \^ exprimant la somme des résidus R(^), relatifs aux

pôles contenus dans C.

Supposons maintenant que l'on puisse étendre indéfiniment le contour C dans tous les sens, de façon que, sur les contours successifs

le module y(>3) reste toujours moindre qu'un nombre fixe M. Dans ces conditions, la deuxième intégrale, dans le second membre de (5), tend nécessairement vers zéro quand on prend un contour C„ suffisamment grand. Il suffit, en effet, de supposer, comme il arrive en général, que la longueur S,, du contour de C/i soit du même ordre que la distance minima R„ de l'origine au contour; le module du terme considéré est alors moindre que

•ITZ R,5 *

Or, -^ restant fini par hypothèse, ce ternie tend vers zéro avec -•

Deux cas pourront alors se présenter. Supposons, en premier lieu, que l'intégrale

ait une limite; ce sera une constante A qui ne dépendra pas de .r, et Ton aura, moyennant ces diverses hypothèses,

Les termes R sont en général en nombre infini; l'ordre dans P. - II. Il

102 CHAPITRE YI.

lequel ils sont écrits est détermiDé par la succession d(

tours Cl, C29 •••) ^/" ^^ obtient donc, de cette man

développement de /(x) en une somme d'une infinité de rationnels.

En second lieu, il se peut que Tintégrale

n'ait pas de limite : la série SR(x) est alors certainement gente. Dans ce cas, on peut encore rcprésenlery(j:) par ui convergente, mais à la condition de retrancher de chaque de la série divergente SR(j:) une constante convenable.

Pour le montrer, supposons d'abord que le point x = un point ordinaire de/(x). L'égalité (5) donne, en faisant

d'où

et, en passant à la limite,

(6) A:t) = Ao)--^[l{ix)^ï{(o)].

On

Les R(o) ont une valeur finie puisque le point :; = o point ordinaire. La série qui forme le second membre e vergente.

Si le point ^ = o était un pôle, en sorte que, dans l'ent de ce point, on ait

il suffirait, dans les calculs précédents, de substituer à j fonction

6. Le raisonnement, que nous venons de faire, repose sur le module def{z) reste toujours inférieur à un nombre

APPLICATIONS DES THÉORÈMES DE CAOCHY. l63

sur les contours successifs Ci, . . . , C,|. Il se peut que cette condition, n'étant pas satisfaite ipouv f{z)^ puisse l'être pour ^^-^^

Nous effectuerons alors le développement de jusqu'au terme

en ^^ ; d'où l'égalité

llTZjf, 5/'-*-» IITZ Jf, ZP+* ^ "^ ^

Nous supposons d'ailleurs que z = o n'est pas un pôle de/(;5). Or considérons l'une des intégrales

^^dz, k%p-^u

Elle est égale à la somme des résidus r^ de la fonction ■ ^^. > relatifs

aux pôles de f{z) contenus dans le contour C/i et au point z^=o\ en sorte que Ton a

Réunissant ensemble tous les résidus relatifs au même pôle, l'égalité (7) se transforme ainsi dans la suivante

J^ xP

/(ar) = /(o)+ -/'(o)^. . .+ ■— — -/IJI

I 1 • ^ • • * fJ

d'où Ton conclut

^^1 r /(^)(r-he)

X xP

J I • ^ • • • mf

l64 CHAPITRE Vf.

En passant à la limite, Tintégrale qui entre dans le seco membre tend nécessairement vers zéro, et Ton a

X xV

/(^)=/(o)+ ^/'{o)+...+ — — -/ij;

I — lim y[R(x) — Tj — PfX — . . . — Pp^iXP],

7. Un cas intéressant à considérer est celui où F(z), design) une fonction uniforme et continue dans tout le plan, dont les cines rangées par ordre de module sont

un pose

FV "^ I

avec rhypothèse „ -, — : <C M, sur les contours successifs (

*^^ h{z) \ zP\ ^

Supposons, en outre, pour plus de simplicité, que les racii soient simples et que le point z^= o n'en fasse pas partie.

Le résidu de • relatif au pôle am est , celui de -

(îsl —j7 et Ton trouve, en appliquant la formule (8),

-i7^^=/(0)+-/(0)+...-Hy-^-^/ii',

nL^^\a,n — X a,„ aj, "* a^n^f' c„

D'où, en intégrant entre les limites o et a:, cl en posant aA='^^ — • et, en prenant les exponentielles,

F(x) = F(o)e"-"" "*•••" T^ JJ (.-£.)*«-;;- î (s::) *-*?^ (;

Nous obtenons ainsi la décomposition de P(x) en facteurs ]i

maires dans le cas particulier où celte fonction satisfait à la condition

F(z)zP

sur les contours C/i, et cette méthode nous donne en même temps la fonction H(^) dont il a été parlé dans le Chapitre précédent (§ 34). On voit que l'on obtient ainsi la décomposition de la /onction en facteurs primaires. A la vérité, nous avons dû faire une hypothèse très particulière sur F(j?), mais nous avons l'avantage de déterminer le facteur exponentiel qui reste inconnu dans la théorie de M. Weierstrass.

8. Bornons-nous, comme application, au développement de la fonction cot;;. Cette fonction a une infinité de pôles simples, donnés par la formule

et qui sont les racines de sin^. On va prendre comme contour d'intégration C,, un carré tel que BCB'C (Jiff- aS) dont le centre

Fig. a3.

JS-