A+2TC

est à Torigine, et dont les côtés, parallèles aux axes, ont pour demilongueur

de telle sorte qu'aucun pôle ne se trouve sur ce contour. Cela

l66 CHAPITRE TI.

posé, le carré du module de cot^ est

( 5 = a* -*- IV ).

Sur les côtés CB et C'B', on a cos2j: = — i : le module est donc toujours Inférieur à un.

Sur les cotés BB' et C'C ce module est inférieur à

tf-»r

Cette expression reste finie, lorsque y augmente indéfiniment.

Donc cot^ satisfait bien à la condition que nous avons imposée 'à/{z) ; son module reste sur le contour Ca moindre qu'un nombre fixe M, quelque grand que soit n.

Le résidu de

col -3

pour z = mz est > et par suite on a

(9) ^^^) = 7rz — ;. (/i = o, rhi, ±2, ...).

Or la série \] __ est divergente. Nous devons donc employer

le second procédé de calcul, et, comme le point ^ = o est un pôle simple, nous substituerons à la fonction cot^ la fonction

^(z) = COiZ 9

AT

qui admet les mêmes pôles, sauf ^ = o. Les résidus de cette fonction sont encore donnés par la formule (9), en supprimant n = o. Finalement, en appliquant la relation (6), on trouve

col J? = — lim y l j 9

X n = «,^^ X/ITC — J? /lit/

ou

cot

X jLi\x^ ni: ni:/ ^

Du développement précédent on peut déduire la formule de dé-

^^mposilion de sino: en fadeurs primaires. On a en effet

Multipliant les deux membres de cette égalité par dx^ et inté- S^ni de o à a:, on trouve

d'où

sioar = ^ I 1 «"" ( i —] (/»=±i, dza, ...),

^'» en groupant deux à deux les facteurs correspondants à des **^ars de x égales et de signe contraire,

-^ous avons déjà obtenu cette formule, mais affectée d'un fac- P^H{jr) ^Chap.V, § 34) qui était resté indéterminé.