II. — Méthode de Cauchy pour obtenir la série de Fourier

et des séries analogues.

9. Une des applications les plus remarquables que Cauchy ait ite du calcul des résidus est relative à certaines séries comprenant ^ particulier ia série de Fourier. Nous allons traiter avec quelques ^tails de cette belle méthode (*).

Soit S{ z) une fonction analytique ayant, à Tintérieur d'un «rcle de centre O et de rayon r, un certain nombre de pôles; on ura

'ATZlJ

(*) On trouvera plusieurs Mémoires sur ce sujet dans le tome VII (2* série) des CEuçre* complètes de Cauchy ; voir particulièrement : Sur les résidus des /onctions exprimées par des intégrales définies (p. SgS). Nous avons cherché à combler quelques lacunes dans les démonstrations de l'illustre géomètre.

l68 CHAPITRE Tl.

l'intégrale clanl prise le long du cercle et la sommation du second membre s'étendant aux résidus R des pôles situés dans le cercle.

En posant

l'égalité (lo) s'écrit

— ri £{re^')erd9 = I,R,

qui peut encore prendre la forme