PQ'-P'Q

sera finie pour toute racine t du polynôme P.

Ceci posé, en désignant par arc tangF(a) l'arc ayant F(a) pour tangente et compris entre et -j — > on aura, sans ambiguïté,

' F'(()dt

'„ i-FMO

= arc langF(r) — arc langF(a),

tant que t en variant d'une manière continue ne passe pas par une valeur rendant F infinie. Dans cette formule arc tangF(f) représente toujours l'arc compris entre et -f- -• Mais supposoDS

que t en croissant d'une manière continue passe par une valeur /| rendant infinie la fonction rationnelle F. Si F(/) passe de -h 00 à

QO, on pourra écrire pour t un peu supérieur à t^

^^^^i^^^ =arctaiigF(0 — arcUngF(a)-h7:,

arc tangF(f) étant toujours l'arc compris entre et 4- 7* En

effet, une fois que t a dépassé /i, c'est

arc langF(/)-f- ir

que l'on doit prendre pour suivre l'arc choisi d'une manière continue. Si, au contraire, la fonction F(/) avait passé de — 00 à -^- 00, on aurait eu, après / = /,,

r' ¥'{t)dt „, .,, ,

Lorsque t varie de a à 6, on aura donc

f 7~rF*77') ^ arctangF(a) — arclangF(6)-t-n7r, les arc tang étant toujours compris entre et H — et /i dé-

signant l'excès du nombre de fois pour lesquelles F(/) a passé de -f- 00 à — 00 sur celui pour lesquelles cette fonction a passé de — 00 à 4- 00 quand t varie de a à b. Cauchy a appelé ce nombre indice de la fonction entre a et b\ nous poserons

20. Montrons maintenant, en suivant toujours Cauchy, comment on peut trouver par un calcul régulier l'indice d'une fraction rationnelle entre deux limites a et h.

Une première remarque sera très utile dans cette recherche; elle a pour objet de chercher une relation entre

I2[F(0] et •5(pf73):

on a

l88 CHAPITRE VI.

et, en changeant F(/) en prr- »

par suite, en additionnant,

o = arc tangF(a) -H arc tang rr- —

- arc langF(6) - arc tang^^ -- r, j \![[F{t)] -h I/; j^p-'-- j

Il en résulte que, si F{a) et F(6) sont de même signe.

Si F(a) > o, F(/>) < o, on aura

ïf;(F) + i:i(p)=^-

Si F(a) <^ o, F(/>) >► o, on a, au contraire,

ii^(F)-i-i;;(p)-

Tout ceci résulte immédiatement de ce que