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arc langa:* -h arc tang - = rh - »
suivant que x est positif ou négatif.
Nous posons donc
i.r(F) + if;(p)-c,
et Ton a
e = o pour F(a ) F(6) > o,
e = H-i ,, F(a)<o, F(^>)>o, e = — I » F(rt)>o, F(6)<o.
Faisons encore la remarque évidente que deux fonctions i lionnelles, dont la différence est un polynôme, ont même îndi(
et que deux fonctions égales et de signes contraires ont des indices égaux et de signes contraires.
Ceci posé, soit
V et V| étant deux, polynômes premiers entre eux, on peut supposer que le degré de V est supérieur au degré de V|. Effectuons sur V et V| les opérations que l'on fait sur le polynôme et sa drrivée dans l'application du théorème de Sturm; soit donc
<»n aura, en supprimant les indices a et />,
' (^:) - (vO - ■(vi) -(^:) -■'■
les £ étant égaux à o, -f- 1, — i et étant déterminés d'après la règle indiquée plus haut.
En additionnant ces égalités et tenant compte des précédentes, il vient
D'autre part.
IQO GflAPlTRE VI.
Y' Le calcul de V indice de la fraction yt peut donc être complètement effectué par de simples opérations algébriques.
Nous pouvons trouver facilcmeDl, d'après ce qui précède^ le nombre des racines de l'équation algébrique
dans un contour formé de segments de courbes unicursales; il suffira de calculer l'indice d'une fonction rationnelle convenable pour chacun de ces segments. D*aprùs la formule
et en se reportant à la formule (23), on voit que le nombre cherché sera égal à la demi-somme de ces indices.
On peut, dans beaucoup d'autres cas, trouver par un calcul régulier le nombre des racines de l'équation y(.3):=o, contenues dans un contour : c'est un sujet sur lequel nous reviendrons au Chapitre suivant.
21. Nous allons terminer ce Chapitre en démontrant le théorème fondamental relatif à la continuité des racines d'une équation algébrique. Cauchy énonce ce théorème de la manière suivante. Soit
une équation algébrique avec les deux variables x et 1'. Si, pour x-='0^ Inéquation
a p racines nulles, V équation (26) aura, pourx voisin de zéro, p racines et p seulement voisines de zéro,
La démonstration précisera complètement ce qui reste d'un peu vague dans cet énoncé. Écrivons le polynôme f{x^y) sous la forme
y (^, 7) = ^^0-+- Ai^ -t- . . . -h Ay,^/' -h. . .4- A,„^'« ;
APPLICATIONS DES THÉORÈMES DE GAUCUY. IQl
les A sont des polynômes en x^ et l'on a
(27) Ao= Al = . . . = A^i " o pour 3? = o,
tandis que A^ ne s'annule pas pour x =^0,
On peu
t écrire
.y) = >^pyn
en posant
1 Ao
Décrivons autour de a: = o,^ = o comme centres, dans les plans respectifs des variables x et ^r, deux circonférences C et F de rayon /• et p. On peut prendre r et p suffisamment petits pour que les deux conditions suivantes soient vérifiées.
On veut d'abord que, les points x et y étant quelconques à l'intérieur des deux cercles précédents, on ait
iui<i.
En second lieu, on veut que, y étant sur la circonférence F, et X quelconque à l'intérieur du cercle C, on ait
iv|<i.
Pour la première condition, aucune explication n'est nécessaire. Pour la seconde, il suffit de remarquer que
et, d'après les équations (27), si r est assez petit, il est clair que lV|<i.
Ceci posé, nous pouvons aisément trouver le nombre des racines de l'équation en^
contenues dans le cercle F, x étant un point quelconque à Tinté-
iga CHAPITRE VI. — APPLICATIONS DES THÊORfe>BS DB CACCHT,
rieur de C. Le nombre de ces racines est en effet égal au quotient par '2TZ de la variation de Pargument de
A,,^/'(i-f.UH-V),
quand^ parcourt la circonférence F. Or, puisque i U | <I ^» | V | <^ 5, Targumcnt de
,HU-f-V
redevient le même quand y revient au point de départ. L'argument de^^ a augmenté de 2pTz; par suite, le nombre des racines que nous cherchons est égal à p. C'est dans ce résultat fondamental que consiste le lliéorème de la continuité des racines d^une équation algébrique. Nous verrons bientôt commentée théorème peut s'étendre à une fonction f{jc^y) holomorphe par rapport à x et à y.
