SIMULTANÉES

i . La recherche du nombre des racines de l^équallon

contenues dans un contour C, revient à chercher le nombre des racines des deux équations

contenues dans C. Dans ce cas ics fonctions réelies / et r^ ne sont pas arbitraires (t. I, p. 86). Nous allons nous poser maintenant le problème dans toute sa généralité. En ne faisant aucune hypothèse sur les fonctions /et 9, que nous supposons seulement continues dans C, nous nous proposons de trouver le nombre dc.H racines communes à ces deux équations contenues dans un contour.

Nous allons avoir à reprendre une intégrale déjà étudiée dans le Tome I : c'est l'intégrale de M. Kronecker(t. I, p. i 'a'V). Dans cette étude, nous avons posé a priori une certaine intégrale; il est intéressant de montrer comment on peut j être conduit : c'est par quoi nous allons commencer.

La formule de M. Kronccker se déduit immédiatement d'une propriété élémentaire des fonctions V, continues dans un certain domaine et satisfaisant à Téquation de Laplace ^ nous la présent^;rons de la manière suivante.

Si la fonction V(X, Y, Z; ebl uniforme et continue dan«( un P. — II. lï

espace limité par une surface S et satisfait à Téquation

"()X« "^ dY« "^ dZ« " ^'

on a

l'intégrale étant étendue à la surface S. Appliquons cette formule à la fonction

et transformons-la en faisant le changement de variables

/, (p et ^ étant continues dans le volume où nous aurons à les considérer.

L'intégrale (i) peut s'écrire

\d\d7.-^Yd7sd\-^Zd\fiY

Pour trouver l'élément de Tintégrale transformée, concevons que X, y, z aient été exprimés en fonction de deux paramètres u et ('. L'élément rfY rfZ devra être remplacé par

VD(^.^)D(T,y) D(^,^)D(y,z) D(^. ^) D{z, xU [D(t,7) D{u,v)'^ Dly,z) D(i/, ^ D(z,x) D(a,r)J''" '

comme on le voit de suite en calculant

et l'on a des expressions analogues pour rfZ rfX et rfX rfY. En substituant dans l'intégrale, on trouve alors de suite la nouvelle intégrale

(•;>.) I I A (fj^ dz -i- Ji dz dx -{- C dx dy^

ou