DEUX ÉQUATIONS SIMULTANÉES. I
f àf df
f àf àf •^ dz dx
. àf àf
^ àyr dz
' dy dz
d^ dcp • dz dx
do dj
^ dy dz
d^ d^ ^ dz dx
d^ d^ ^ dx dy
^ft^^t^^t)
ï (/«-hcp«-f-4/«)
D'après l'égalité (i), l'intégrale (2), étendue à une surface fermée S, sera nulle si, à l'intérieur de S, il n'y a pas de points {x.y^ z) pour lesquels/*, (p et <{; s'annulent à la fois.
Si^ au contraire, les fonctions /, ç, if s'annulent à l'intérieur de S, l'intégrale (2) ne sera pas nulle en général. En supposant que les racines du système d'équations
soient simples, c'est-à-dire que le déterminant fonctionnel
Ox
d^ dx
dy dz
do dcp
dy 'dz
dy dz
ne soit pas nul pour les racines considérées, nous avons montré {loc. cit) que r intégrale (2) est égale à
m désignant la différence entre le nombre des racines contenues dans S, pour lesquelles le déterminant fonctionnel D est positif et celles pour lesquelles il est négatif.
2. Le problème de la recherche du nombre exact des racines n'est donc pas résolu par la formule de M. Kronecker. Je me propose maintenant de montrer qu'en s'appuyant sur le résultat de l'illustre géomètre, on peut arriver à représenter par une inté-
ïg6 CHAPITRE YII.
grale double le nombre des racines communes à deux équations simultanées contenues dans un contour C (* ).
Considérons, à cet effet, le système des trois équations
aux trois inconnues x,^, z, en posant
dx dy ùy dx
J'envisage dans Tespace à trois dimensions {x^y^ z) Tensemble des valeurs de ces variables correspondant à des points (or, y)^ contenus à Tintérieur de C, et à des valeurs de z comprises entre — e et 4- e (e désignant une constante positive arbitraire). Cet ensemble définit un domaine A, et le nombre des racines du système (4) correspondant à des points de ce domaine sera précisément le nombre des racines du système (1) contenues dans C (nous supposons que toutes les racines considérées sont simples, c'est-à-dire que D ne s'annule pas pour ces racines). Or le déterminant fonctionnel des trois fonctions, formant les premiers membres des équations (4), se réduit à la quantité essentiellement positive
La difficulté relative au signe du déterminant fonctionnel a donc disparu, et Ton pourra, par suite, représenter par une intégrale double le nombre des racines communes aux équations (1) contenues dans C.
3. On peut remarquer qu'une méthode analogue s'applique au cas d*une seule équation
dont on veut avoir le nombre des racines comprises entre a et 6.
(') Dans deux articles publiés dans les Comptes rendu» (t. CXIII, 1891) et dans un Mémoire du Journal de Mathématiques (1893), j'ai traité de la détermination du nombre des racines communes à n équations simultanées.
