RACINES COMMUNES A DEUX ÉQUATIONS SIMULTANÉES. IQQ

ol l'on a

( fi? ^r\r. \ "did^ dy dx)'

Vax "^dxj" B j,

11 en résulte que, dans l'évaluation du nombre des racines, la portion de Tintégrale double provenant de la surface latérale du cylindre se réduit à l'intégrale curviligne, prise positivement le long du contour C,

( « ) jVdx-hQ dy,

où

hdz

^^J^V'ôy~"^à^)j

L'intégrale qui figure dans P et Q peut s'obtenir immédiatement; on trouve ainsi

Pr^ —

\ '' dx ' dx De

•2- /*H-?* (yi^^pt^DU»)»

^ \ "^ dv ^ or De Q= ^ •-

Passons à la portion de l'intégrale relative aux deux premiers plans de base du cylindre. Ils donneront l'intégrale double, étendue à l'aire limitée par le contour C,

t r r Kdxdy

<p«-t-DU')»

en écrivanl

•^ dx dy

do do

• dx ày

àx dy

La somme des intégrales (a) et (j3) donne le nombre cherché des racines communes aux deux équations

?(ar, ^) = o, contenues dans le contour C.

On voit que le champ d^inlégration dans ces deux intégrales ne dépend que du contour C.

5. Le résultat précédent dépend en apparence du nombre e : les deux cas limites e = o et e = 30 appellent nécessairement Tattention.

Faisons tendre d'abord e vers zéro, l'intégrale (a) tendra vers zéro. Quant à l'intégrale (j3), elle se présente sous une forme indéterminée qui rappelle entièrement ce que nous avons trouvé pour le cas d'une seule équation (n" 3); nous pouvons dire que le nombre cherché est la limite de l'expression

zK dxdy

DH^y

quand e tend vers zéro. Il est clair que pour e = o tous les éléments de l'intégrale sont nuls, sauf celui qui correspond à une racine commune aux deux équations /= o, ç = o, et c'est de là que provient la forme indéterminée. Nous chercherons tout à l'heure comment on pourrait calculer cette limite pour quelques contours particuliers et en supposant que / et cp soient des polynômes.

Faisons maintenant augmenter indéfiniment e dans les intégrales (a) et (P). On voit immédiatement que la première tend