RACINES COMMUNES A DEUX ÉQUATIONS SIMULTANÉES. SOI

vers

l D I désignant la valeur absolue de D.

Celle intégrale est a rapprocher de l'intégrale

faisant connaître la différence entre le nombre des racines contenues dans C, pour lesquelles le déterminant fonctionnel D est positif, et celles pour lesquelles il csl négatif. Les éléments de ces deux intégrales ne peuvent que différer par le signe sur certaines parties du contour.

Quant à l'intégrale (j3), elle se réduit, en posant £ ^:= .«> à

r^Y{dx dy

•^vyfD

[D*-hT,(/«^o»)p

dont on doit chercher la limite pour y| = o. Il y aura ici, pour Tj = o, une suite d'éléments indéterminés correspondant aux valeurs de X et j', pour lesquelles

Si D ne s'annule pas à l'intérieur de C, cette limite est nulle et l'on n'a qu'à prendre l'intégrale curviligne, ce qui est d'accord avec le résultat trouvé précédemment,

6. Appliquons les considérations précédentes au cas où le contour considéré se réduit à un carré dont les côtés peuvent être supposés parallèles aux axes et où les deux fonctions /{x-^y) et ç(jr,^) sont des polynômes. On peut, dans ce cas, écrire les deux équations simultanées

sous la forme

CÎOa CHAPITRE VII.

f{x) et ¥{x) représentant deux polynômes (puisqu'on supposa qu'il n'y a que des racines simples).. Le polynôme f{x) n'aur: aussi que des racines simples.

Il s'agit de trouver le nombre des racines {x^y), communes ces deux équations, pour lesquelles

On suppose qu'aucune des racines des deux équations ne ;= trouve sur une des droites limites.

Le déterminant fonctionnel D se réduit ici à /'(a:), et l'on a

Nous devons donc considérer l'intégrale

étendue à l'aire du rectangle, et faire tendre e vers zéro.

En eflectuant l'intégration par rapport à y, cette intégre

devient

t(d-^F)(/'^^/f)dx

Quand s tend vers zéro, les seuls éléments de l'intégrale

ne tendant pas vers zéro, sont ceux qui correspondent au'Kleurs de x racines de f{x). Au lieu de l'intégrale précède*

nous pouvons donc nous borner à la suivante [en dévelopf

par la formule de Taylor |

RACINES COMMUNES A DEUX ÉQUATIONS SIMULTANÉES. 2o3

<*e qui nous conduit, pour e = o, à

I* désignanl Tindice entre a et 6, au sens de Cauchy, de la fonction rationnelle - — ~"^ ^^ ; et Ton aura, par conséquent, pour le nombre des racines,

7. Ce résultat est facile à vérifier directement. Quand x, en croissant, passe par une racine dey(x), le quotient

passe de -h 00 à — oo si c — F est négatif, c'est-à-dire si le point (x, ^) est au-dessus de la droite j^ = c. De même, ce quotient passera de — oo à -+-oo si le point correspondant {x^y) est audessous de la droite y = c. En désignant donc par n et /l' le nombre des racines de nos deux équations (comprises entre les droites ^r = a, x = b), situées respectivement au-dessus et audessous de la droite^ = c, on a

En remplaçant c par d et désignant par N et N' les nombres correspondants, on a de même

Or, si nous désignons par v le nombre des racines comprises dans le rectangle, on a

donc

Uo4 CHAPITRE TH.

Par conséquent

c'est le résultat que nous voulions vérifier (*).

8. D'une manière plus générale on peut indiquer une n: régulière de calcul pour trouver la limite de l'intégrale

quand le contour est formé de segments de courbes ur sftles. Cette intégrale double est^ en effet, égale à l'intégral vi ligne

prise dans le sens positif le long du contour C.

Partageons cette intégrale en différentes parties correspc aux différents segments de courbes unicursales qui, par hypo forment le contour C. Soit l'un d'eux correspondant aux vah cl /, du paramètre t dont sont fonctions rationnelles x et valeur correspondante de l'intégrale sera, pour e = o, en r nanl comme au numéro précédent,

Le quotient -^ — 7-"^ ^^^^ ""^ fonction rationnelle de /, <

n'aura qu'à en prendre l'indice de to k ti. En additionnai les résultats ainsi obtenus, on aura le nombre cherché.