RACINES GOMUUNES A DEUX ÉQUATIONS SIMULTANÉES

le nombre des racines communes à deux équations

(/ et ^ étant deux polynômes) contenues dans un contour convenable C. Comme au § 6, nous écrivons toujours ces deux équations sous la forme

y* et F étant deux polynômes.

Supposons que le contour C soit défini par la relation algébrique

X étant un polynôme, et que les points ù l'intérieur du contour correspondent à

Nous avons donc à chercher le nombre des racines communes aux équations (5) pour lesquelles l'inégalité précédente est vérifiée, ce qui revient à chercher le nombre des racines x de l'équation

pour lesquelles

en désignant par R(j:^) le polynôme). [or, F(x)]. Or cette question n'est visiblement qu'un cas particulier de celui qui a été traité au § 7.

On prendra l'indice entre — oo à + oo de la fraction rationnelle

Fin désignant, respectivement, par n et w' le nombre des racines de/= o, pour lesquelles l\{x) est négatif ou positif, on a

On connaît d'autre part, au moyen du théorème de Sturm, la

2o6 CHAPITRE VU.

somme n -h n' qui peut d'ailleurs s'écrire

n -\- n' ^. - ItZj '^

On aura par suite le nombre cherché n,

10. Ce résultat est bien facile à généraliser. Supposons que le contour C soit défini par deux inégalités

A et [JL étant des polynômes.

Nous serons conduit à rechercher le nombre n des racines de Tcquation

pour lesquelles on a simultanément

R(j:)<o, Ri(a:)<o,

eu posant

R(t) = X(t,F), Ri(x)=ii(x,F).

Soit N le nombre des racines pour lesquelles

R(:r)<o, Ri(t)>o,

et N' le nombre des racines pour lesquelles

R(j'i>o, Ri(a7)<o.

On pourra trouver la somme N -j- ^i', puisque ce nombre représente le nombre des racines pour lesquelles

R(j:)Ri(x)<o.

Désignons de même par n et n! le nombre des racines pour lesquelles on a respectivement

R(a:)<o, Ri(t)<o (pour n) R(j:)>o, Ri(j')>o (pour n').

On pourra calculer les sommes

/n- N et w -f- N',

RAGI!fES COMMUNES A DEUX ÉQUATIONS SIMULTANÉES. ÀOy

qui correspondent respectivement aux. racines pour lesquelles R(j:)<^o, et aux racines pour lesquelles R|(jr)<C(). Ayant calculé les trois sommes

N-4-N', /n-N, /^-^N^ nous en déduisons de suite le nombre cherché n.

Il est clair qu'on n^aura pas plus de difficultés à calculer le nombre des racines de l'équation /{x) pour lesquelles on aura ù

la fois

Ri(j')<o, Rj(a:)':o, .... R/(a:)<o,

£ étant un entier quelconque. On peut donc par suite trouver ^ par un calcul algébrique régulier, le nombre des racines des deux équations

(/ et ç étant deux polynômes) contenues dans un contour dé' Jini par les n inégalités

les \ étant des polynômes.

208 CHAPITRE VIIF.