I. — Intégrales h3rperelliptique

1. Nous avons déjà étudié (t. I, p. 4^) I^ réduction algébriq des intégrales hypereiliptiques. Considérons particulièrement

intégrales du type

f{x)dx

/(jc) étant un polynôme; soient [jl le degré du polynôme R(x) ^1, ^2, . . . , a^ ses [JL racines qui sont supposées toutes distinct Nous nous proposons d'étudier les déterminations diverses de 1' tégralc

^ f(T)djr

quand on va du point Xq au point x par différents chemins, la ( terminatiou initiale de y/R(j:) pour x = o étant toujours la mên

2. Commençons par étudier les différents chemins allant point ^0 à un point x. Pour l'objet que nous avons en vue, de chemins seront évidemment à considérer comme identiques si peut les ramener Tun à l'autre par une déformation continue sî traverser aucun des points a. Or considérons (Jiff- 24) (x couri partant dc^To et y revenant en entourant, respectivement chacai un des points a. La forme de ces courbes est indifférente; pc bien préciser, nous prenons pour chaque point a la courbe si vante : on joint Xq à un point très voisin de a, on décrit aulc

<le a un cercle très petit et l'on revient au point Xq par le même chemin qu'à l'aller. Un tel chemin est dit un lacet.

Ceci posé, tout chemin allant de Xq à un point x se ramène évidemment à un chemin allant de x^ à jr^, suivi d'un chemin déter-

Fig. 24-

miné allant de Xq à x; il suffit, en eflTet, d'ajouter au chemin considéré le chemin déterminé xxo, que Ton fait suivre du chemin de sens inverse XqX. 11 faut donc envisager les différents chemins partant de Xq et y revenant. Or je dis que tous ces chemins reviennent aux différents lacets parcourus successii'ement et dans un ordre que/conque.

Pour le voir bien nettement, on suivra le chemin C jusqu'à la rencontre en a avec un lacet; on quittera alors C pour suivre le lacet jusqu'en Xq, ce qui donne visiblement une somme de lacets (les lacets 01 etflr2): puis on rétrograde de Xo en a, et en a on reprend le chemin C jusqu'à ce que celui-ci rencontre un nouveau lacet, soit P ce point de rencontre. En ,3 on quitte de nouveau C pour suivre de P en Xq le lacet rencontré. On a mis en évidence de nouveau, par le chemin XqOlPxoj une nouvelle somme de lacets (cette somme peut se réduire à zéro, comme il arrive dans le cas de la ligure). On rétrograde alors de Xq en ^, et en j3 on reprend le chemin C et l'on continue ainsi jusqu'à ce que l'on ait parcouru tout le chemin. Le chemin C se présente alors de la manière la plus nette comme équivalant à une somme de lacets. Dans le cas de la figure, le chemin C est équivalent aux lacets ati, «Tj, a^ successivement parcourus.

3. La remarque fondamentale qui précède va nous permettre d*étudier sans peine les diverses valeurs de fintégrale (i). Suppol>. - II. i-'i

sons d^abord que Ton considère seulement des chemins partant de Xq et y revenant. Les valeurs de Tintégrale le long des lacets vont jouer le principal rôle : soit, par exemple, le lacet a|. La valeur de l'intégrale sur le lacet se compose de deux parties, l'une est relative à Taller et Tautre au retour; quant à Tintégrale sur le cercle infiniment petit, elle tend vers zéro avec le rayon de ce -^^ cercle. 11 peut sembler au premier abord que les deux intégrales .^s» se détruisent puisque les dx à Taller et au retour sont égaux et de <«=^

signes contraires; mais y/K(x), ayant tourné autour du pointe?,, ^ ^

n'a plus la même détermination au retour qu'à l'aller, et, par suite, ^ -«-

les éléments s'ajoutent au lieu de se détruire. Soit A| la valeur de --:^ j rintégralc

quand on suit le chemin tracé pour le lacet, et que l'on pren

pour ^R(xo) une de ses déterminations que nous désignerons: par^'o» 1^ valeur de l'intégrale correspondant au lacet tout entieo sera, d'après ce que nous venons de dire, lA^. Soient de même

À Aj, . . ., 'i\

les valeurs de l'intégrale correspondant aux autres lacets, la dé>

termination initiale de y/R(j:), quand on parcourt chacun de ce lacets, étant toujours supposée égale à y^.

Tout chemin, ayant Xq comme points de départ et d'arrivée, s* ramenant ù une somme de lacctvS, nous n'avons aucune difficultà avoir maintenant la valeur do l'intégrale correspondante. Su posons que le chemin équivale aux lacets

successivement parcourus, nous aurons comme valeur de l'inlé -"^ grale

On remarquera que les signes p/us et /;?o//î5 alternent dans cell somme; c'est que, a[)rcs avoir parcouru le premier lacet ax , nou revenons en Xq avec la détermination — y^ du radical, etiavaleu du second lacet c^l alors - 2A) au lieu de 4- 2Ax que nou

aurions trouvé si nous avions décrit Je lacet «x, ^^vec la détermination initiale -f-^o pour le radical. Pour le troisième lacet, au contraire, nous avons au début, après deux changements de signe, retrouvé la détermination initiale j^o et par suite nous avons -+- 2 Ax,, et ralternance des signes est, après ces explications, bien manifeste.

Deux cas sont à distinguer suivant que p est pair ou impair. Si p est pair, l'expression (2) pourra se mettre sous la forme

[3) imicoi-f- amitu, -h.. .-4- im^^iin^-i^

les m étant des entiers positifs ou négatifs, en posant

coi = Al — Aj, toj = Ai — A3, ..., cujj,i = Al — Aji.

On peut d'ailleurs choisir un chemin tel que Ton trouve pour valeur de l'intégrale l'expression (3) : il suffira de décrire nix fois l'ensemble des lacets a^ et ^2, puis m^ fois l'ensemble des lacets a^ et as, et ainsi de suite.

Si p est impair, en ajoutant à l'expression (2) — 2A|-|-2A4, 3n la mettra sous le forme

4) 2/niaii-+-. . .-j- '2m|x-iWjx-i-^ 2A|.

Nous avons donc représenté par (3) et (4) toutes les déterminations possibles de V intégrale pour un chemin partant de Xo et y revenant. On donne aux quantités 20) le nom de périodes de V intégrale hyper elliptique.

11 est important de remarquer que ces périodes ne dépendent pas du choix du point j^q. Ainsi, par exemple, la période

n'est autre chose que l'intégrale prise le long d'un contour contenant à son intérieur les deux points ay et a^, contour que l'on peut déformer d'une manière continue sans changer la valeur du résultat de l'intégration.

4. Considérons maintenant uq chemin particulier c allant de X'^ en x\ soit I la valeur de l'intégrale pour ce chemin, la valeur initiale pour le radical étant toujours j-q. Comme nous l'avons déjà

:>I3 CHAPITRE TIII.

dit, tout chemin L allant de x^ en x se ramène à un chemia C revenant à Xq^ suivi du chemin c. Si C équivaut à un nombre pair^-sf « de lacetSy la valeur de Tintégrale sur L sera de la forme

'i/IllOii-h 2mj(0j-h. . . -r- 2/lljj.i(0j|.| -H I.

Si C équivaut à un nombre impair de lacets, on aura

2/ii|eoi-4-. ..-h 2/Wj|.iC0|i|-+-2A| — I,

car, quand on reviendra en Xq après avoir décrit C, on aura poiCL^v ^^ le radical la détermination — y^ et, par suite, le chemin c, qu'^ ^Vj reste à décrire, donnera — 1.

On peut dire que Vinlégrale (i) a, au point x, deux déie^ ^-rminations de types distincts

I cl 2A1— I;

les autres déterminations s'obtiennent en ajoutant à celles ci des sommes de multiples des périodes 2(0.

La notion de la périodicité des intégrales, rapidement indiqu ^c par Cauchj, a été particulièrement approfondie par Puiseux da "*ïs son Mémoire sur les fonctions algébriques {Journal de Mathénr tiques, i85u).