Parmi les intégrales de la forme

()iiy"(x)est un poljnùme, on désigne sous le nom AUnté g raies première espèce celles qui restent finies quand x augmente in iiniinent. Ces intégrales restent donc finies pour toute valeur fi ou infinie de la variable (î?o/r l. 1, p. 45).

Quand le degré j.t de K(j:^) est impair, soit [jl = 2/? -H i, V légrale sera de première es|)èce si le degré de /{x) est au j> égal dp — I. Il y a /> intégrales de première espèce linéairem indépendanles.

Quand ;jl est pair et égal à 2/>, le degré de /(x) ne doit

]I<ITÉGRALES DE FONCTIONS NON UNIFORMES. 2l3

dépasser p — 2 et il y a alors/? — i intégrales de première espèce linéairement indépendantes.

Évaluons le nombre des périodes de l'intégrale. Pour [x=:2/?-|-i , il y aura ip périodes et on ne peut pas, du moins en général, faire subir de réduction à ce nombre.

Pour [jL=2/?, nous trouvons, en appliquant la théorie du paragraphe précédent, un nombre de périodes égal à ip — 1, mais une réduction immédiate se présente, qui va diminuer ce nombre d'une unité. Envisageons, en effet, Tensemble des lacets autour du point Xfi : Tintégrale prise le long de ces lacets sera nulle. En effet, le point à l'infini est un point ordinaire pour l'intégrale : l'intégrale prise le long des lacets a donc même valeur que si elle est prise le long d'un cercle de très grand rayon et est, par conséquent, nulle. On a donc, les lacets se suivant dans l'ordre 1, 2, . . . , [x,

Al — Aj-+- A3 — . . . — Aji= o,

qui peut s'écrire sous la forme

coi — Wj -f- . . ,-\- w»i = o.

' On voit donc que l'une des périodes Wp,.,, par exemple, est une combinaison linéaire à coefficients entiers de (o,, (1)2, . . . , ^^^^>

6. Faisons maintenant une remarque importante sur la réduction du nombre des périodes. Les périodes seront dites distinctes s'il n'existe entre elles aucune relation homogène et linéaire à coefficients entiers; il peut arriver qu'entre les périodes trouvées (O existe une ou plusieurs relations de cette nature.

Soient

tOli Wj, .... O),,

les périodes que nous venons de trouver; on suppose que l'on ait les relations, en nombre X,

/ni (1)1 -\- /7Î5WI-+-. . .-+- mn^ii^=- o, ^iWl-f- çr,io, -I-...-+- çr„ai« =0,

Ti 0)1 -4- Tj Oi j -f- . . . -i- rn^n =0»

les m, y, /• étant entiers. De plus ces relations peuvent être supposées algébriquement distinctes, c'est-à-dire que l'on peut en tirer

tll4 CHAPITRE TIII.

les valeurs de A des quantités co en fonction des autres. Ceci revient à partir de l'hvpothèse que

ai;„+t = lA^l H- ... -h il}n Wm

les m étant rationnels.

Toute période est de la forme

les M étant entiers, et, en remplaçant com+i, • • • <> ^/i P&i" leurs valeurs (5), on aura une expression homogène et linéaire en 0)4, (O29 . . • , com à coefficients rationnels. Aucun de ces coefficients De peut s'approcher, quelque choix qu'on fasse des entiers M, autant que Ton veut de zéro sans devenir rigoureusement nul, puisque les [JL sont rationnels. Ces coefficients ont donc, en dehors de zéro, un minimum pour leurs valeurs absolues. , La période 0 étant écrite sous la forme

et X désignant un des nombres 1, 2, •..,/??, considérons toutes les périodes û pour lesquelles

0 '-Po= i si p < X, o=p^ si ?>>-

11 y a manifestement de telles périodes, puisqu'il suffit de prendre Ù = W) . Parmi toutes ces périodes qui, d'après la remarque faite, sont en nombre limité, il y en a une pour laquelle le coefficient /?x a la valeur minima. Désignons par/?'/', . ..j/^x* '^^ valeurs des coefficients/? correspondants.

En faisant successivement ). = i , 2, . . ., m nous aurons les périodes

ûi = /?}w,,

l>2 = /?îw, -f-/)|a),.,

^fn = PT ^i -H /?i" W2 -f- . . . -h/>;;i ^m 1

et ces relations permettent d'exprimer les w en fonction des U.

INTÉGRALES DE FONCTIONS NON UNIFORMES. 2l5

Toute période peut s'exprimer en fonction linéaire de û|, Û2, . . . , Qm ' nous allons montrer que les coefficients sont entiers.

Soit

une période, les P étant rationnels.

On peut écrire P,„ sous la forme

V;„ étant un entier et P^, étant positif et inférieur à/>^. On pourra ensuite déterminer un entier V;„| tel que

P^j étant positif et inférieur à p^Z\ .

On continuera ainsi, et la dernière égalité sera

Pi = v,/?} -^ v,/?î -f- . . . -h v,„;?j« -4- p; ,

avec o£Pj <!/>î, les v étant tous des entiers positifs ou négatifs. La période û sera alors de la forme

viûi-4-...-}-v;„û,„H- P'jtoiH- P;ci),H-...H-P;„a);„.

Or les m premiers termes étant des périodes, il en résulte que

(6) P;a),-+-Pia),-f-...-i- P';„w,„

est une période. Mais nous avons

olP',</>j, o<P;</>î. ..., olP;„</>i

Dans ces conditions, l'expression (6) ne peut être une période que si les P' sont tous nuls : cela résulte de la définition même des quantités p\^ p\^ • • •? Pm- En effet, si P^„ n'était pas nul, pour que l'expression (6) fût une période, il devrait être au moins égal à p^; or il est inférieur à/?^: donc P^== o et de proche en proche on démontre pareillement que tous les P sont nuls. On a donc finalement

les V étant des entiers. Remarquons encore qu'entre û|, û^, .*., û,»

2l6 CHAPITRE VIII.

n'existera pas de relations homogènes et linéaires à coeffici^^'*'^ entiers, car on aurait dans ce cas une telle relation entre ^*' toj, • . . , uim et nous n^aurions pas fait usage de toutes les relati ^^^^ entre les co.

Nous arrivons donc en résumé au théorème suivant (*) :

On peut déterminer m périodes distinctes Û|, ûj, ..., flf? dont toutes les autres sont des sommes de multiples, de te sorte que toute période Q est de la forme (7).