TOME IL
FONCTIONS DUNE VARIABLE COMPLEXE. - PROBLÈMES FONDAMENTAUX RELATIFS A L'ÉQUATION DE LAPLACE DANS LE PLAN.
I. — Définition des fonctions d'une variable complexe. Dérivée. Intégrale. Fonction harmonique.
1. Désignons par // et ç deux fonctions réelles continues, ainsi que leurs dérivées partielles du premier ordre, des deux variables réelles x et y, et formons la combinaison
OÙ i représente le symbole ordinaire des imaginaires. Cette combinaison peut être regardée comme une fonction de la variable complexe
ce qui revient simplement à dire qu'à un système de valeurs de X et^ correspondent une valeur de w -h iV, et par suite des valeurs de u et V. Il est clair que la considération d'une telle fonction de X -{- ij< ne peut présenter aucun intérêt particulier : il n'y P. - II. I
a là ({u'une (|uestion de mois, cl la liaison par le symbole f de deux fonctions quelconques u cl r est absolument inutile. Maison peut ne pas laisser complèlemenl arbitraires les fonctions u et i\ et chercher si cette fonction de ,r -- t'y ne pourrait avoir des caractères qui la rapprocheraient d'une fonction d'une variable réelle. C'est ce qu'a fait Cauchy, en cherchant les conditions pour que celte fonction ait une dérivée unique. Quand la variable x — iv reçoit un accroissement
dx - i dr,
la fonction u — iv éprouve un accroissement f/u -^- i /A*. La limite
du rapport
ou '*u .. 'il- fil-
, . . - tfx ■ (fy — 1 1 — dx dv )
du -■- it/r *tx iM • ' Ox or ' '
Jx -- idy dx -+- i<iy
quand clx--iiiy tend >ers zéro, sera, en désignant par -jl la
,. ., j tir limite de -j- •
Ou Ou .,' ôi' tv
ox '.»»• ■ or •»>• • VI» - . .
elle dépendra de ;jl. La fonction u — /V de .r — i v a donc pour chaque valeur de la variable une infinité de d»"*rivées, dépendant de la manière dont dx — idv tend vers zéro.
Cherchons à quelle condition celte dérivée sera unique. Le rapport ? i • ne devra pas dépendre de ;jl: par suite, on a
ou . :*%' eu . :'%'
OX '.*x t'v .»r
ce qui exige
iS
ou iV
Si u et \' satisfont à ces deux identités, la fonction u — i% a. en chaque point, une dérivée unique. On dit qu'elle représente «/ir* Joncii. n •.ï/r.i/i7/'/wr' de -r — m.
FONCTIONS D UNE VARIABLE COMPLEXE. O
2. Rappelons d'abord que nous avons déjà rencontré ces deux équations dans un important problème de Géométrie (t. I, p. 429). En cherchant à déterminer u et v par la condition que
du^ -f- dv^ ^ X ( dx^ -4- dy^ ),
A ne dépendant pas des différentielles et étant seulement fonction de X etj', nous avons obtenu le système S et celui qui s*en déduit par le changement de t' en — c. Ce résultat pouvait immédiatement s'obtenir en écrivant l'identité précédente sous la forme
« ( du-^ i dç)( du — idv) — 1( dx -{- idy){ dx — idy)\
les deux facteurs du premier membre étant des formes linéaires en dx et dy^ on doit nécessairement avoir
du -^ / dv . du — / dv
SOll -; r— - = «JL, SOlt —. 7—=- = V,
dx -\- idy ' dx -r- idy
u et V ne dépendant que de x et r; c'est-à-dire que u-\- iV ou // — iV est une fonction analytique Aç x -\- iy.
Voici encore, relativement au système S, une remarque aussi simple qu'importante. Soient u-\-iv et m'-}- «V' deux fonctions analytiques de x-\-iy. On pourra regarder n' -\- iV comme une fonction de w H- iv; je dis que cette fonction sera une fonction analytique. On a en effet
du -h idv __ du' -h idv' __ ,
dx -4- idy ~ ' ' dx -^ idy ' ^ '
a et [jl' ne dépendant que de x et jk? ou, si Ton veut, de u et r.
On en conclut
du' -4- i dv* \i!
du-r- idv [i*
le second membre ne dépend que de u et r, ce qui démontre que 11*^ iç' est une fonction analytique de u H- iV. Cette propriété du système (S) est digne de remarque; on peut la prendre comme point de départ pour chercher à généraliser la théorie des fonctions d'une variable complexe : c'est un point sur lequel nous aurons à revenir.
