Nous pouvons poser

en désignant par z la variable x -*- ir. Les fonctions ii cl r admettant des dérivées premières sont continues dans une certaine étendue; on dira qu'il en est de même de la fonction /*(-), et Ton en conclut immédiatement qu'on pourra donner à la quantité complexe h un module assez petit y\ pour que l'on ait, quelque petite que soit la quantité positive e,

\/(z^h) — /(z)\<e, pour | /i |< tj,

le signe 1 1 représentant maintenant le module de la quantité complexe.

Nous avons dit (\uc/(z) avait une dérivée unique. En la désignant par/'(v), on a

Ou . ^i'

Passons à la notion iï intégrale pour une fonction analytique f{z). On suppose que la fonction f{z) et sa dérivée f'{z) soient des fonctions bien déterminées et continues pour tout point {x^y) situé dans une certaine région du plan à contour simple. On entend j)ar l'intégrale définie

dz^

prise le long d'une courbe G située dans cette région et allant du point Zq au point 5|, l'intégrale curviligne prise suivant cetle courbe

I (u-r- iv){dx-^-idy),

c'est-à-dire

/ {it dx — V dy) -^ i I (v dx -r- u dy^.

Un théorème fondamental de Cauehy est que cette intégrale est indépcmiantc du chemin sui^'i pour aller de Zq en z^.

La démonstration est immédiate, si Ton se reporte aux. propriétés fondamentales des intégrales curvilignes ^t. 1, p. j3). Les condi-

FONCTIONS D UNE VARIABLE COMPLEXE. O

lions pour que ces deux intégrales soient indépendantes du chemin suivi s'expriment en effet par Tes relations

du

"=- àx'

àv

du

ày

qui ne sont autre chose que les équations du système (S).

4. Considérons la limite supérieure Z\ comme variable, et désiçnons-la par :;. L'intégrale

sera une fonction de z. C'est une fonction analytique; écrivons-la en effet sous la forme

I (udx — vdx)-^i j (vdx-\-udy).

En désignant par P et Q les deux intégrales qui figurent dans l'expression précédente, on a

dP dO

dV dO

dy ôx

Les deux équations ^- = -r^> =— --^ sont donc vérifiées. La

*■ dx dy dy dx

dérivée de F(:;) est égale à

dV .dQ . ;, ,.

- — i- i -T-^ > c est-a-dire u -f- iv.

dx dx

et nous avons par suite le théorème fondamental, tout à fait analogue à celui qui se présente dès le début du Calcul intégral pour une fonction d'une variable réelle, et qui est exprimé par l'égalité

F'(z)=/iz),

o. Les diverses remarques faites à propos des intégrales curvilignes, dans le cas où la condition d'intégrabilité est remplie, s'é-

tendent aux intégrales d'une fonction analytique. Ainsi Tintégrale

prise le long d'un chemin fermé situé dans une région du plan, limitée par plusieurs contours, à l'intérieur de laquelle la fonction J\z^ est bien déterminée et continue, ne change pas de valeur quand le contour se déforme sans traverser aucun des contours limites.

(>. Reprenons les équations du svstème (S)

au c>t' ou àiT

et supposons que, outre les dérivées du premier ordre, les fonctions // et i' aient des dérivées du >econd ordre elles-mêmes continues i • K On lire des deux équations précédentes

et, par suite.

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tin-

»iy OX

Oy^