Revenons à l'intégrale de première espèce
R(x) étant, pour fixer les idées, de degré [x = 2/? -H i et/(:r)étai
alors de degré p — 1 . Nous avons trouvé 2/? périodes pour cet ii
tégrale. Nous démontrerons plus lard que, si le polynôme /(x) c
degré /> — 1 est pris arbitrairement, les ip périodes sont distincte
Dans certains cas particuliers, les périodes distinctes peuvent êl:
en nombre moindre, mais nous allons établir qu'// doit y avo
au moins deux périodes distinctes.
Supposons, en effet, que l'intégrale u n'ait qu'M/ie période
Pour chaque point x, celle intégrale aura les deux systèmes de ^
leurs (§ 4)
u ~T- Xo), 2 Al — w -h jjwo,
A et [JL étant deux entiers.
Si donc on considère la fonction de x
tniit (îA,— f/nni e~^ -h e <*> ,
cette fonction sera uniforme : l'addition k u de multiples de eu la substitution a u de 2A1 — // ne changent pas, en effet, la valei
(*) Le mode de démonstration que nous venons de suivre a été eroplo par M. Weierstrass pour établir un théorème plus général; voir Âfonatsbericht 1876 {Neuer Beweis eines Ilaupsatzes der Théorie der periodischen Functt nen von mehreren Veràndlichen). On pourra aussi consulter, sur des questio analogues, un article de M. Kronecker dans les Sitzungsberichte der Berlin- Akademie (i884).
de cette expression. D'autre part, u reste fiDie pour toute valeur finie ou infinie Ae x\ la fonction précédente est donc partout holomorphe même à Tinfini, elle se réduit donc à une constante d'après le théorème de Liouville. Mais ce résultat est manifestement absurde; l'expression précédente est une fonction rationnelle de
qui ne peut être constante que si u est lui-même constant. // est donc impossible d'admettre que u n'ait qiCune période.
8. 11 est facile d'indiquer un exemple très simple d'intégrale de première espèce où une réduction se produit dans le nombre des périodes. Prenons pour R(^) le polynôme du sixième degré pair
Les deux intégrales de première espèce
dx r 3* dx
/dx r xdx
se ramenant, en prenant x^ pour variable, à des intégrales elliptiques, n'ont que deux périodes.
D'une manière générale, on peut ramener une intégrale où figure rationnellement la racine carrée d'un polynôme du sixième degré à une intégrale de même nature où le polynôme est du cinquième degré; soit par exemple le radical
^{x — ax){x — ai){x — a^), . .{X — a^). En posant
I Tq I «j— «8 1
X — ûi = I p = > a = I >
on a le radical portant sur un polynôme du cinquième degré
en écrivant
~ (ai— a5)(aj— as)'
l, - (^1— c^6)(qi — «3)
~" (a,— rt6)(a,— a,)'
__ (at— a»)(ai — 03)^ («1 — «*)(««— «3)'
^l8 CHAPITRE Vlll.
or, si le polynôme du sixième degré ne renferme que des puissances paires de la variable, on aura
rtj = — ai, av = — «3, a« = — «t,
vl Ton voit que dans ce cas
c = ab.
On est donc conduit à ce résultat indiqué autrefois par Jacob (Journal de Crelte, t. VIII) que deux intégrales de première espèce, relatives au radical portant sur un polynôme du cinquième degré
fi et b étant deux constantes arbitraires, ont seulement deu^ périodes (*).
Indiquons un second exemple de réduction donné par M. Her mile (Annales de la Société scientifique de Bruxelles, 1876)1 Si Ton pose
a et b étant deux constantes quelconques, on aura, comme L montre un calcul facile,
/(iZ I r dx^ v/ÏÏ(>3) '^ J /{^lax^^ b)\x^ — a )
en posant
4 5' — Sac
X rzz .
On aura aussi
y^ z(/z I r dy
(') On trouvera quelques théorèmes généraux relatifs à la réduction du nombr des périodes dans les Mémoires suivants :
K. Picard, Sur la réduction du nombre des périodes des intégrâtes abe" tiennes {Bulletin de la Société mathématique, l. XI; i883).
H. PoiNCAUÉ, Sur la réduction des intégrales abéliennes {Bulletin de ta So ciété mathématique, l. XII; 1884 ).
S. K0WALE8KI, Ueber die Beduction einer bestimmten Klasse abelscher Inte grale auf elliptische Intégrale {Acta mathematica, t. iV; i884).
GounsAT, Sur la réduction des intégrales hyperelliptiques {Bulletin de le Société mathématique, t. XIII, i885).
en posant
Il en résulte que les deux intégrales
/dz r zdz
/RÔT) ""^ J v/m^
n'ont que deux périodes.
9. L'application à l'intégrale elliptique du lliéorùme démontré au n**7 est particulièrement intéressante. Soit l'intégrale elliptique de première espèce
a^ b^ c, rf étant quatre quantités distinctes. Nous venons de voir que les deux périodes de cette intégrale étaient distinctes. On peutaller plus loin et montrer que leur rapport est nécessairement imaginaire. Si ce rapport était réel, il serait incommensurable. Or à la place de a mettons l'indéterminée z\ le rapport des périodes de l'intégrale
dT
sera une fonction holomorphe ç(c) de z dans le voisinage de z=:a: les deux périodes 2(B — D), 2 (G — D) seront, en effet, fonctions Iiolomorphes de z puisque les intégrales B, G, D, correspondant aux lacets qui aboutissent aux racines b, e, e/, sont elles-mêmes holomorphes, leurs éléments jouissant manifestement de cette propriété. Nous supposons que pour x; = a, o(z) se réduise à un nombre réel (jl; or l'équation
si l'on prend [jl' suffisamment voisin de |jl a au moins une racine voisine de « (*). Mais nous pouvons prendre pour jjl' une quantité
(*) Noos nous appuyons ici sur le théorème fondamental relatif à la conlinuité des racines d'une équation, Ihéorème qui sera démontré au Chapitre suivant.
réelle comme nsurable aussi rapprochée qu'on voudra de (jl el nou aurons alors une valeur de z correspondante très voisine de a el par conséquent, distincte de 6, c, rf; nous serions donc ramen au cas dont nous avons démontré l'impossibilité . Nous avon ainsi démontré le théorème suivant qui est fort important (* ) :
Le rapport des deux périodes de V intégrale elliptique (S est imaginaire, les quatre racines a, 6, c, d étant distinctes.
10. Arrêtons-nous un moment sur la forme canonique, dor ont fait usage Abel et Jacobi, pour l'intégrale elliptique de prc mière espèce,
dx
^f^v — x^){\ — hx*j
et considérons le cas, particulièrement intéressant pour les appl cations, où k est une constante positive inférieure à l'iinité.
Nous avons dans ce cas les quatre points critiques *> t' — -
— T- Le premier lacet sera relatif au point i et sera obtenu c
joignant l'origine à ce point par une droite; le second lacet se-
obtenu en joignant l'origine au point t par un segment de droit
en évitant seulement le poinl i par un demi-cercle infiniment pel situé au-dessus de Taxe des quantités réelles.
Les troisième et quatrième lacets seront respectivement 1« symétriques des deux premiers par rapport à l'origine. On ^ supposer qu'on parte de l'origine avec la valeur -h i pour le ra dical : nous poserons
Calculons la valeur de l'intégrale prise deoà-r» le point
étant évité comme il a été dit. Nous aurons d'abord K en allar de o à I ; il faut voir ce que deviendra le radical quand x va dt
(*) La démonstration précédente est celle que je donne dans mon Cours depu plusieurs années. On en trouvera une toute différente dans le Cours lithograph de M. Hcrmite (3« édit., p. 237).
orire le segment de droite ( i, tJ« Si nous posons
I — X = pe^^
X allant de o à i , nous pourrons prendre 0 = o et faire varier p de I à o; p restant fixe et très petit, le point x décrira le demicercle indiqué autour du point i, si l'on fait varier 8 de o à — -Tt;
par suite, ^i — x doit être remplacé, quand x sera plus grand que un, par
__ir,
^x — I e * ou — i^x — I :
donc, de 1 à t> nous aurons l'intégrale
(|ue nous désignerons par i¥J ^ la constante K' étant comme K essentiellement positive. De o k jy nous avons donc l'intégrale
K -h iK\
l^es deux autres lacets donnent évidemment des quantités égales et de signe contraire. Par suite, en se reportant aux généralités relatives aux périodes des intégrales hjperelliptiques, nous aurons les deux périodes
4K Cl 2iK'.
1 1. Il est important de calculer la valeur de l'intégrale
Cette intégrale n'a de sens bien déterminé que si l'on fixe le chemin suivi; nous supposerons qu'on suive l'axe réel positif, en
évitant seulement les points i et -r à Taide de deux demi-cercles
infiniment petits décrits au-dessus de l'axe réel. Nous avons d'abord
« tp ^ K - iK'
pour le trajet de o à t- Quand x est supérieure t> on voit, en raisonnant comme plus haut, que Félément devient
— dx
et nous aurons l'intégrale cherchée en ajoutant à [^expression (9)
rintégrale
J^* dx
I \/{xi — i)(k^x^ — i)
Or cette intégrale se calcule de suite, en faisant le changement de variable
Ax = — ,
et Ton voit immédiatement que la dernière intégrale est égale à — K. Nous avons donc
rintégrale étant prise dans les conditions indiquées.
§ III. Exemple de fonction non uniforme représentée par des intégprales. Série hypergéométrique. Rapport des périodes de llntégprale elliptique comme fonction du module.
12. Nous allons nous arrêter sur un exemple très intéressant di" fonction non uniforme représentée par une intégrale définie. En
posant
o{ u) = u^( u — \)^{ Il — a:)^-,
nous considérons les intégrales définies
Uo — / o{u)du,
I/o désigne une constante distincte de o et i . Pour une valeur déterminée de jc, ces intégrales ont un sens parfaitement déterminé,
Fig. 25,
oo
si Ton a fixé le chemin allant de Uq aux points o, i et oo, et si, bien entendu, on a
Marquons sur le plan des u le point //q et les points o, i, .r {Jig. 25) et traçons les lignes
MoO, UqXj WoI, Uq»,
ces lignes se suivant autour de Uq dans Tordre qui vient d'être indiqué. Introduisons encore Pintégrale
i^x= r o(u)ciu (x>-i).
Les U peuvent être considérés comme des fonctions de x : les différences
u-, = Uj.— Uo,
sont donc des fonctions de x. Ce sont ces fonctions de x que nous voulons étudier; elles ont été envisagées par Gauss dans un Mémoire célèbre (*), et nous aurons à revenir sur récjualion différentielle linéaire du second ordre à laquelle elles sali^font. Nous voulons les regarder en ce moment comme (les foru -
(') Gauss, Œuvres complètes, t. III.
22^ CHAPITRE flll.
lions non uniformes de x^ et chercher quelle est la nal leurs déterminations multiples (*).
13. Tout d'abord, considérons dans le plan les lignes u^ UqX) comme des coupures, c'est-à-dire que nous astre pour le moment, j: à ne pas franchir ces lignes : les U so des fonctions bien déterminées de x. On suppose que choisi, une fois pour toutes, une détermination pour
et l'on n'a pas à changer cette détermination une fois < puisque x ne tourne pas autour de Uq s'il ne franchit pas I pures. Ajoutons encore que, quelle que soil la position du j la ligne //«x part toujours de Uq en étant comprise dans iuqo; c'est moyennant ces conditions que nous pouvo que les U sont des fonctions uniformes de x.
On trouve de suite une relation entre les U : en effet légrant le long du contour formé par les coupures coni comme lignes doubles, on obtient la relation
Les facteurs exponentiels proviennent des rotations sur ( clos infiniment petits décrits autour des points critiques, point à l'infini, comme nous l'avons déjà expliqué, un tt est remplacé par un cercle de rajon infiniment grand.
Ceci posé, nous voulons chercher quelles relations il y les valeurs des fonctions tO| et W2 quand le point x est sur le bord gauche de la coupure UqO et ensuite sur le boi de cette même coupure. Désignons par
n' U' ïj' U'
^0» ^Xt *-*!» *-*«> ^
(') Celte recherche a été faite d'abord par M. Schiaffli {Mathemat. i. III), et, dans sa remarquable Thèse {Annales de l'École iVorma M. Coursât a fait l'clude approfondie des relations qui existent entre rentes intégrales. La méthode suivie dans le texte est celle que j'ai dans le Bulletin des Sciences mathématiques (i885).
les valeurs de U quand x est en x* sur le bord droit de la coupure. On doit considérer que x et x' sont deux points géomcHri-
Fig. q6.
4itement confondus : l'un est sur le bord gauche, l'autre sur le droit {Jig, 26). On aura évidemment
*^ passage de x à x' n'a aucune influence sur la valfMirde ces inléo'^^ies. Il en est autrement pour Uo et U'^, et le point essentiel est 'Je trouver U„ en fonction des U ; or on y parvient de suite par '^ l'aîsonnement suivant. On a
^•^•fifcnd x passe en x', tous les éléments de Tintégrale l/„ \,j ^'-^'^t. multipliés par <?~ -'"'•, puisque iu — xf se trouve multipli/* \^^^ <?"2'-^, le point il étant à l'intérieur du contour que Ahw'xX. .r ^^'^^s un sens supposé négatif. On a donc
."'**' J^oinl bien compri?, il n'v a plu- bticutt': diffiruli/*, l/éqii;«lion *^ ^ et l'équation analo;:ue relative ;iu\ 1/ nous donnent p;ir %ou*. ** ^::^ tion
*~^-»es équations écrite- nou^ pTf;n«:tt'rnt fï h.'ttf I** f/<n f'/M'.- (les L et. p:ir cjn-ï'rjîj'rnt- 'n p'/'^nt
it-^'.i^
• aleurs des »-■> en fory/i'^n d^* '^. O;; •/'>•! *<; ^i'/-:
226 CDAPITRB YIII.
Nous pouvons maintenant énoncer sous une forme un peu férente le résultat que nous venons d'obtenir. Concevons l'on supprime la coupure Uq o, et que x^ partant d'un point d'à leurs arbitraire, revienne en ce point après avoir tourné une ù autour de o dans le sens négatif; (Of et (1)3 ne reviennent pas point de départ avec les mêmes valeurs, mais avec des valeurs et (ù'^ liées à (Oi et co^ par les formules (Si ). On peut dire qu'à u circulation autour du point zéro correspond la substitutif
La même méthode nous donne, sans presque y rien chang< la substitution qui correspond à une circulation autour du po un. Pour la trouver, nous supposerons cette fois le point
Fig. 27.
d'abord sur le bord droit de la coupure Uq i et ensuite sur le bgauche de cette même coupure {Jig- 27). Désignons par
u;, ui, uî, u:
les valeurs des U quand x est en x!' sur le bord gauche de la cpurc. Nous aurons
u; = Uo, u;= u«, u; = Ux-4- ««''^MUi- u^r),
et Ton a, en opérant comme plus haut, équation d'où nous tirons
en posant
substitution S2 correspond à une circulation autour du €>i^t I.
i. 4. Nous venons de voir comment se modifient w, et Wa quand ai ^variable x tourne autour du point zéro et autour du point un. ?o maria substitution S» la circulation correspond à une circulation ^^^casle sens négatif, et 83 est relatif au sens positif. Les substi- ^^•-ioDs inverses de S» et S2 donneront manifestement les nou- '^'^lles valeurs de la fonction pour des circulations respectivement <le sens contraires.
-Les substitutions (S<) et (S2) permettent de trouver toutes les valeurs possibles de la fonction. En effet, les fonctions (u, et Wa ^ Ont d'autres points singuliers que les points zéro et un. Pour le voir bien nettement, remarquons que Uo, U|, U» ont pour points singuliers à distance finie
'^^> si l'on considère tout autre point Xq et si Ton suppose, comme est, permis, que les coupures ne passent pas parce point, les '^'^égrales Uq, U<, U» seront des fonctions holomorphes de x dans ^ Voisinage de ^Tq comme la fonction sous le signe somme
-'^K- ^'exprimant linéairement en fonction de Uo, U|, U» aura les ^^ixies points singuliers x = 0, x =^1, x = Uq. Revenons mainle- ^^*^t aux différences to, et Wj, elles n'admettront pas Uq comme ^^înt singulier; elles ne dépendent pas, en effet, de Wqj puisqu'on ^^^ï décrire
wi= / ^(u)du,
0)]= / ^(u)dUf
-es intégrales étant prises, suivant la détermination que Ton consi- ^^r^c, le long d'un chemin ou d'un autre allant respectivement de ^ ^ X elde i k X : elles se trouvent, par suite, définies indépen- ^a.jxunent de w©- H «'y a donc pas de troisième point singulier à ** s tance finie.
2!^8 CHAPITRE TllI.
Les fonctions a}< et coa de la variable x sont des fonctia holomorphes de x dans le voisinage de tout point, sauf pc :r = o, :r = I et X =^ ce,
11 en résulte que coi et co^ dësignant un système de délermL tiens de ces fonctions en un point arbitraire x^ on obtiendra t les autres en effectuant sur (Oi et îù^ les substitutions
les a et ^ étant des entiers positifs ou négatifs {voir t. I, p. ^ pour les définitions relatives aux substitutions).
15. Parmi les différences d'intégrales du type de celles nous venons de considérer, il en est une conduisant à un d ■ loppemcnt en série très remarquable; c'est la diff*érence U« — ou
/= Ç u^(u — i)f*(u — x)>^du.
Supposons que Ton intègre de i à oc, en suivant la partie p~a tive de Taxe réel et que j j: | <[ i .
Posons, pour avoir les notations de Gauss,
rt — a — Yi ^ -- Y — ? — ' » ^^ = — 3t.
Les inégalités, supposées remplies pour que l'intégrale aisens, sont Y ]> |3, (3 > o.
Nous allons développer Tinlégralcy en série ^ on peut écrii —
or, puisque | // [ >• i et | x | •< i , on a
^\~* .r a(a -+- O. . .(a-r-/) — i) tP — ' — I • a - -I- -4- — - - -i-
a I . '2 . . ./> uP
f se trouve donc développé en série entière, et le terme rai est
INTÉGRALES Dg FONCTIONS NON UNIFORMES. 229
Parlons de ridenlilé
ce qui donne, en intégrant,
et enfin
-P-« e/ii
Y(Y-hi)...(Y-»-/?-i)J, On en conclut que/, abstraction faite du facteur constant
Ç a-Y(M — OY-P-'rfi/,
se réduit à la série
Cette série remarquable est connue sous le nom de série hypergéométrique. Si on la considère, a priori, on peut donner aux constantes a, p, y des valeurs quelconques, exception faite seulement d'un entier négatif pour y. Le cercle de convergence de la série est le cercle de rayon un.
