Examinons en particulier le cas où

Ijh signification de (Ui et (1)2 est alors remarquable^ ce sont deux demi-périodes distinctes de Tintégrale elliptique

^u{u — \){u—x) Nous considérons ici ces périodes comme fonctions de x. Les

substitutions Sf et S2 du § 13 sont alors

( Wj = 2ciii-4- ciij;

On aura donc toutes les déterminations possibles de coi et (o^ combinant les substitutions Si et S^ et leurs puissances. Ces terminations seront de la forme

/?/, /?,/>, (7 désignant des entiers, et Ton aura, comme pour '^s

substitutions composantes,

mq — n/> = I.

Or nous avons vu (J$ 9) que le rapport

X élant différent de :;cVo et un, ne peut devenir égal à un nom

réel ou, en d'autres termes, que le coeflicient de i{i=^i dans ce rapport garde un signe invariable, puisqu'il ne peut s'annuler. Ce résultat est relatif aux déterminations de Wj et ^-»^t entendues telles que nous les avons considérées d'abord au § "^> "^^^

c'est-à-dire en supposant (jue x ne franchisse pas les coupures

mitivement tracées dans le plan ; mais il subsiste quand on a L ^^^ "^^^ toute restriclion, car alors le rapport précédent a pour valeur

//? tOi -T- Al tOj

- (^,nq — np — 1),

/)Oii-i-qu>t

et, dans ce rapport, le signe du coefficient de i est le même <jue

dans — •

En résumé, le rapport

v(ar)-- —

est une fonction analytique de x n'ayant d'autre poir^ «^ ^^^'

ffulier que x = o, j: = i et a: = oo. Quel que soit le chemin ^u£%^i par la variahley le coefficient de i garde un signe invable.

joutons encore que v sera une fonction holomorphe de x pour 3u.le valeur distincte des points critiques, car, si v devenait inn î , c'est qu'on aurait

/?aii-f- ^toj= o,

t^ nous savons qu'une telle relation est impossible; pour la • ÔMie raison, v ne peut s'annuler.

17. On peut se servir de la fonction v(j;) pour établir le preiier théorème que j'ai donné autrefois sur les fonctions entières r4 nnales de V École Normale, 1880).

isignons d'une manière générale par (j{z) une fonction en- , c'est-à-dire une fonction holomorphe dans tout le plan. II sut. arriver qu'une telle fonction ne puisse, pour aucune valeur QÎ^ de Zj prendre une certaine valeur finie a. L'expression ^^^^ -ha, où f{z) est une fonction entière, ne devient jamais ?3lc à a. La circonstance qui se présente à l'égard de a peutlo se présenter pour une autre grandeur bl Peut-il, en d'autres •''■^^es, arriver que lies équations

^*^ot pas de racines? Nous allons montrer qu'w/ie fonction en- *^^ G(c) qui ne deviendrait jamais égale niàa^ ni à 6, serait ^^•^sairement une constante.

^^*^ peut tout d'abord supposer que a = o et è = 1 ; considérons,

^flPet, la fonction ■ j — -> elle ne deviendra, d'après nos hypo-

^^^s, jamais égale ni à zéro ni à l'unité. Nous allons donc rai- '^^^^r sur une fonction Qt{z) ne devenant égale ni à zéro ni kun. *^^>sons x=^ G(2); la fonction v(x) du paragraphe précédent de- **^^ra une fonction de z que nous allons étudier. A une valeur ^^ ûc correspondent une infinité de déterminations de v; choî- ^^^^Hs l'une d'elles v©. Soit, pour z = Zq, Xq = G(zo) : la détermi-

^c^n de la fonction

est alors définie pour z = Zq. Supposons que z décrive un che quelconque C partant de Zq et y revenant, x décrit alors dans plan une courbe fermée partant de Xq et revenant à ce point. P le cas où cette courbe se couperait elle-même, désignons pai^ le contour extérieur de l'aire qu'elle limite. La courbe C ne co prend à son intérieur ni le point zéro ni le point un. Déform en effet la courbe C sans cesser de la faire passer en Zq ; nous [x:^ « vons la réduire à ce point. Il est clair que, par ces déformatic:^ wis continues de C, nous réduirons C au point ^o sans qu'elle t. verse jamais aucun des points o et i, puisque, par hypothè- G(:;) ne prend jamais ces valeurs. Il résulte de là que la fonction v[G(-3)] reprendra en Zq sa valeur initiale v© quand z reviendra ^n 5o après avoir décrit la courbe C. De là se conclut bien aiséin^il que celte fonction est une fonction uni/orme de z dans tout 1^ plan. Considérons, en effet, deux chemins ZoCiZi^ Zobzi allant de Zq à un point quelconque Zt du plan. Soit V| la valeur qu'acquie»"*- '^ quand on suit le chemin ^o^'^i j <^^ continuant suivant Zibz^, ramène la valeur initiale vq. Si maintenant on rétrograde suiv« Zobzt, la fonction repassera par la même valeur en chaque po et, par conséquent, elle acquerra en z^ la valeur V| obtenue p cédemment. Nous arrivons donc à la conclusion que la fonctî

est une fonction uniforme dans tout le plan; comme elle re5d'ailleurs toujours finie, c^est une fonction entière.

C'est ici qu'une impossibilité va apparaître. On se rappelle cj dans V le coefficient de /a un signe invariable; nous pouvons supposer positif, puisque autrement on raisonnerait sur — v. N avons donc une fonction entière f{z) dans laquelle le coefTici de I est positif. Je dis que/(z) ne peut être qu'une constaiB. Envisageons, en eff*et, la fonction

c'est une fonction entière dont le module est e~^, si l'on p /(w)=X-|-iY; mais, puisque Y > o, le module de e'/^*' s toujours moindre que un, 11 en résulte, d'après le théorème Liouville, que e'/^*^ et, par suite, f{z) doivent se réduire à constanles. Notre fonction v[G(5)] se réduisant à une constan

G (3) devra elle-même être conslante, puisque v(x) est une véritable ronction de x. Le théorème est donc démontré.

18. Au lieu d'une fonction entière, considérons maintenant une fonction uniforme /(3) n'ayant dans toute Tétendue du plan que des pôles. Je dis qu'/7 ne peut y avoir plus de deux valeurs finies a et b que ne puisse prendre une telle fonction pour une valeur finie de la variable.

Nous avons vu, comme conséquence de la théorie des facteurs primaires, que l'on peut mettre /( 3) sous la forme

G< et Gj étant deux fonctions entières n'ayant pas de racine commune. Cherchons d'abord l'expression d'une fonction y(3) ne devenant égale ni à ez ni à b. Dans ce cas,

G,(^)—rtG,(;5)

ne pourra s'annuler pour aucune valeur de z. On aura, par suite,

G,(c)— aGj(5)=eP(-),

P(3) étant une fonction entière. De même, on aura

Gi(5) — ^>Gs(;5)=e«(-^

Q(5) étant une fonction entière. De ces relations se tirent G< et G2 et Ton peut écrire

Nous allons voir maintenant que celte fonction peut prendre une valeur finie quelconque c différente de a et b. L'équation

peut, en effet, s'écrire

eQ(5)-P(5) = - r.

La constante du second membre n'est ni nulle ni infinie. Or l'équation

a certainement une infinité de racines, car il ne peut j avoir, d'après le paragraphe précédent, plus d'une valeur finie que ne puisse prendre la fonction entière Q{z) — P(5); or le logarithme a une infinité de déterminations, de sorte que si pour une de ces déterminations Téquation n'avait pas de racines, elle en aurait certainement pour les autres. Ce raisonnement suppose que Q(>3) — P(s^ ne se réduise pas à une constante, mais on voit immédiatemenv dans ce cas quey(^) serait elle-même une constante.