I. — Généralités sur les fonctions de plusieurs variables

complexes.

1 . Nous avons, jusqu'ici, considéré seulement des fonctions analytiques d'une variable complexe; on peut de même envisager des fonctions de plusieurs variables complexes. Il s'en faut de beaucoup que la théorie des fonctions de plusieurs variables soit aussi avancée que celle d'une variable. Dans les généralités qui vont suivre, la plupart des résultats seront applicables à un nombre quelconque de variables du moins avec des modifications insignifiantes : nous simplifierons l'écriture et l'exposition en nous bornant à deux.

2. Soit/(w, ♦?) une fonction analytique des deux variables complexes u et V, Posons

rfe a, par définition,

/( M, i^)= P(:r,7, z, t)-h eQ(ar,^, z, t),

«t Q étant des fonctions réelles des quatre variables réelles x^ y y

w, /. On aura manifestement entre P et Q les quatre relations

Ox

Oy

ùz

\ dt

Ox (>5

(Cherchons à quelles équations satisfera la fonction P. En groupant de toutes les manières possibles ces équations deux à deu\, on obtient par deux difTérentiations convenables une relation à laquelle satisfait P. Les deux premières donnent

(>îP Ox^

(i,îi);

la première et la troisième

puis ensuite

Oxôt

" àzây

<>ïP dx Oz

dt ôy

ôydt

OzOx

ityOz

Otdx

Oz^ '