Soit donc Ç la racine, contenue dans S, de l'équation

en posant F(5) r= 5 — a — ol/(z).

En désignant par ll(z) une fonction holomorphe quelconque de Zj on aura

Or on peut développer |^—r en série suivant les puissances de a

OLf(z)

a — ol/{z) z — a (z — a)*

série qui converge d'après l'inégalité (8).

Nous aurons donc le développement

- . . . -h a'»Jrt H- . . . , où Jn

Pour être entièrement rigoureux, il eût fallu considérer le resle dans le développement (9), et montrer que son intégrale tendiil

vers zéro avec -; mais il est inutile de s'arrêter sur ce point qui

se traite de la même manière que dans la démonstration de la série de Taylor d'après Cauchy.

L'expression du coefficient J/i est facile à trouver. Nous avons vu, en effet, que Ton a d'une manière générale

D2«l>(a) i r <^{z)dz 1.1,.. n ~~ ^Tti L{z — a)'*'^'' '

^{z)dz

ce qui donne

Da[/'»(a)n(a)] 1.2. .. n

On a donc le développement

FHô " ^ 7:^^::Tn ^'^ - o, i, 2, . . .).

De ce développement, on peut en déduire un second, en posant ^{z) étant une fonction holomorphe arbitraire de z. Il vient

et, en groupant les termes qui correspondent à une même puissance de a, on a, après des réductions immédiates,

Pour les applications de cette formule, nous renverrons au Cours de M. Hermite, où l'on trouvera, en particulier, une étude approfondie de l'équation connue en Astronomie sous le nom d'équation de Kepler,

22. Comme nous l'avons dit plus haut, Laplace a généralisé la formule de Lagrange en considérant deux équations

jr — a — a/(x,7) = o,

Nous supposons que / et (p soient des fonctions holomorphes de X et y {*).

Il importe d'abord de bien préciser le système de racines que nous allons envisager. On suppose que x ely restent respectivement à l'intérieur de deux contours C et C; a est à l'intérieur du contour C et 6 à l'intérieur du contour O. Quand j^ a une valeur arbitraire à l'intérieur de C\ si l'on choisit la constante a assez petite pour que

X décrivant le contour C, on est assuré que l'équation en x

X — a — 0Lf{x, y) = o

a une racine et une seule à l'intérieur de C, et, d'après le théorème général sur les fonctions implicites cette racine x sera fonction holomorphe de a et^.

Nous la substituons dans l'équation

si p est assez petit pour que

X étant quelconque à l'intérieur de C, et y décrivant le contour C, cette équation en y aura une seule racine contenue dans C! . Ainsi, moyennant les deux inégalités (lo) et (ii), on est assuré que les deux équations proposées ont un système de racines {x^ y) et un seul, pour lequel x ei y sont respectivement à l'intérieur des courbes C et C. Nous désignerons par (Ç, r^) ces racines.