Nous avons calculé (§ 18) la valeur de l'intégrale

¥(x, y)dx dy

P(^7yyQïï7r) '

C) Comparer avec le § 5 du Mémoire de M. Poiacaré, intitulé : Méthode de M. Stieltjes,

q66 CHAPITIIB IX.

CD prenant une certaine surface ({^intégration. Posons ici

Considérant toujours les deux contours C et G du paragraphe précédent, voyons si les conditions du § 18, sous lesquelles nous avons fait le calcul de Tintégrale, sont vérifiées.

Tout d^abord nous avons à vérifier que ni Tune ni Paulre des fonctions P et Q ne s^annule quand x et y sont respectivement sur C et C Or il en est bien ainsi puisque

quand x et y sont respectivement sur C et C. En second lieu, et pour la même raison, Téquation en x

aura une racine à l'intérieur de C, y étant sur G. Enfin Téqualion

en .r

n'aura pas de racine à l'intérieur de C, y étant toujours sur C, puisque, d'après nos hypothèses, x étant quelconque à rinlérieur de C et ^ sur C, on a

Ainsi, en prenant comme surface d'intégration les courbes C et G parcourues positivement, nous avons

dx dy = —

rD(p>Q)] Li>(^»r)J*=

(ç, r, ) désignant, comme il a été dit, la racine commune à P = o,

Nous allons maintenant suivre absolument la même marche que dans le cas d'une seule variable. Nous pouvons développer en série les deux fonctions

x — a — nf

^Mv

sque

^ïi a ainsi

Nous avons donc la formule

y/n-i(^^ __ ôy<-t-i

-4Tr«F(g, 7))

rD(p,Q)i

cette intégrale double étant prise dans les mêmes conditions que rintégrale dont nous sommes parti. Or nous avons déjà calculé la valeur de cette intégrale; on a

et Ton a enfin la formule

F(^ rO

rD(P,Q)]

«wp/i

c^m-H/i[F(a, b)/'''(a.b)^»(a, b)] daf» db"

y=tï

qui rappelle complètement la première forme de la formule do Lagrange pour une variable.

D'une manière toute semblable, on obtiendrait une seconde formule, donnant le développement de la fonction ^(i, r, ), en posant

F(^,r)^*(^îr)

dx ^ dy

/^ tte <^ ç)j\-| ^ \ dar dy Oy Ox ) \

Nous n'écrirons pas ce développement dont les coefficients sont moins simples que dans le cas d'une variable.