OX

ov*

et la l'onction r satisfait à la même équation.

Ut-ciproi{uemeut. soit une fonction ux^x^y > satisfaisant à IVquatîon

fA u •>* u

On poum déterminer une fonction i* telle que « — iV soit une fonction auàU tique de x -i- /i'- La fonction *' est donnée ^vir Tinl<*i:rale cur^ili^ne

— / dz — :l i .

FONCTIONS d'uNB VARIABLE COMPLEXE. 7

intégrale où la condition d'intégrabilité est satisfaite, puisque Téqualion (2) est supposée vérifiée. La fonction ç est déterminée à une constante près, puisque la limite inférieure (xc^o) est arbitraire.

Le résultat précédent est extrêmement important. Il montre que l'étude des fonctions d'une variable complexe se ramène à Fétude de l'équation

c'est-à-dire à l'équation de Laplace pour le cas de deux variables. Suivant une désignation introduite parles géomètres anglais, nous appellerons fonction harmonique toute fonction satisfaisant à l'équation précédente.

Dans les écrits de Cauchy et de la plupart de ses disciples, l'équation précédente intervient peu, et Ton raisonne sur la fonction complexe elle-même f{z) de la variable z. La simplicité et l'uniformité des raisonnements font de cette théorie une des plus attrayantes et des plus parfaites de l'Analyse mathématique (*). A la suite d'un Mémoire fondamental de Riemann (^), l'étude des fonctions d'une variable complexe a été ramenée de nouveau à sa véritable origine, à savoir Tétude de Téquation de Laplace ou du système (S). Ce point de vue est assurément plus philosophique ; il a le grand avantage de laisser de côté tout symbole, et la théorie des fonctions d'une variable complexe est, en définitive, l'étude de deux fonctions associées w et i^ de deux variables réelles x eiy satisfaisant aux deux équations

^ Ou __ àv f)u dv

ôx &y^ dy dx

11 ne faudrait cependant pas être exclusif. Le symbolisme a, dans certains cas, ses avantages, et bien des résultats extrêmement simples deviendraient d'un énoncé compliqué si l'on voulait

(*) Le Traité classique de Briot et Bouquet sur les fonctions elliptiques, dont la première moitié est un exposé de la théorie générale des fonctions, est fait systématiquement à ce point de vue.

(^) Grundlagen fur eine allgemeine Théorie der Funclionen einer veranderlichen complexen Grosse {Œuvres complètes).

ne jamais introduire de quantités complexes. Après avoir donc fait Tétude deTéquation de Laplace, que nous allons tout d'abord entreprendre, nous reviendrons ensuite à la fonction complexe

7. Il ne sera pas sans intérêt d'indiquer, dès à présent, une

première généralisation du système (S), qui est due à M. Bel-

trami (*). Considérons une surface 2 pour laquelle le carré de

rélément d'arc ds est exprimé, à Taide des variables p et y, par

la formule

ds^ — E dp^ -^ 7.F dp dç -^ G dg^.

E, F, G étant des fonctions de p ei q (l. 1, p. 420). Soient u et v deux fonctions de p el q telles que

du*^dç^ = l(Edp^ — 'kF dpdq -^Gdq^),

X ne dépendant pas des différentielles.

En changeant, s'il est nécessaire, v en — r et remarquant que E dp^ — -iF dp dq -^ G dq^

où